Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Diflferentialgleichungen.97

9 7 3

Einen Beweis gibt Lagrange nielit an, sondern verweist einfaeh
auf seine Integration. der Gleichung
dz Vdz + Z.
d-x d= Iy
Erst im, Jahre 1785 kommt Lagrange wieder auf die lineare
Gleichung zurtiek, urn einen Beweis, fuir seine Methode zu geben.1)
Fur den Fall von drei Variablen u, x, y sei wie herk6mmlich
du ~~du
cl1) und
gesetzt; die gyegebene Differentialgyleichung sei
Xp + Yq = U
wo X, Y, U beliebigye Funktiollen. von U, x und y sind. Es ist dann
von selbst
du ==pdx + qdy.
Durcli Multiplikation beider Gleichungen folgt
(Xp + Yq) du == U(pdx +qdy)
oder
p (Xdut - Udx) + q (Yduc - Udy) == 0.
Lagrange nimint nun an, die beiden Gleichungen
Xdtt- Udx = 0 und Yd - Udy == 0
seien in der Form integriert
a — A, /3B
wo A und B bekannte Funktionen von u, x nnd y,. ferner cc, ~3die
Integrationuskonstanten sind. Lagrange fifihrt jetzt statt x und y
die eben bestimmten Ausdriieke A und B als nene Variable cc und.f
in die ursprtingliche Differentialgleichunog ein. Er erh~lt zuniichst
dA dA (I(A
und ganz analog
d B (lB d B
d =dudidu+ dIX dx +-de- dy.
Fur die hierin auftretenden Derivierten von A und B lassen sich
aber zwei bemerkensxverte Relationen aufstelten. Betrachtet man
nijmlich die Funktionen A und B als Integrale von

1) Oeuvres do Lagrange, t V, p. 543ff.