Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXVII.

suclite das singuliire Integral euler partiellen Differentialgleichung,
aus derlIntegralgleichung abzuleiten, fand, daB dies leichiter ist, wenn
nicht das ailgemeine, sondern das bereits frillier von ihim entdeckte,
mittlerweile auch in seiner Bedeutung erkannte vrollstiindige Integral
gegeben ist, und suclite demgemiiB das vollstiindige Integral flir verschiedene Gleichungstypen zu bildeD; dem ist nichit entgegen, daB er
in dem speziellen Beispiel
dz d z
d x dIy
gerade auf das allgemneine Integral gefllihrt wird.
Mittlerweile fillit Lagrange auf, daB er in der eben besprochenien
Abhiandlung die partielle Differentialgleichung 1. Ordnnung, in der die
Differentialquotienten nur linear anftreten, integriert hat; er erkennt
das Prinzipielle der Methode und gibt 1779 eine Verailgemeinerung
derselben. Wie Laplace formuliert er') vorher die Aufgabe:,,Man
weiB, daB die Kunst der Integration bei partiellen Differentialgleichungen nur in der Zuriickfflhrnng dieser Integration auf die von
gewiihnliche-n Differentialgleichnngen bestelit, und daB3 man eine
partielle Differentialgleichung dann als integriert betrachitet, wenn
ihre Integration nur melir von derjenigen einer oder mebrerer totalen
Differentiaigleichungein abhangt." Lag ran ge gibt sodanin ohne weitere
Begriiudung folgenide Regel: Ist
dz+Pdz 9d z~+ Z
wo P,Q,. Zbeliebige gegebene IFunktionen von- x, Y, t,.. z
sind und z selbst eine nubekannte Funktion von x, y, t,. ist, so
bilde man die,e&quations particulibres"
dy -Pdx =O; dt -Qdx ==0;...dz -Zdx O,
integriere und liise nach den Integrationskonstanten. a, j3, y..auf.
Das gesuclite Integral der ursprilnglicben Gleichung ist daun
wo qp eine willkiirliche und unbestinimte Funktion ist; das Integral
wird,,comple'te" 2) sein, well es eine willkilrliehe Funktion enth~ilt.
~)Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 625. Im AnschlulS an diesen Aufsatz
stelit eine Beinerkung von Charles fair den Fall. daf3 die gegebene Differentialgleichung in den drei Variablen x, y, z homogen ist: Histoire de I'Acad~mie des
Sciences 1784 (1787), p. 348. 2) So schreibt Lagrange, obwohl er frihe2r
zwischen ailgemeinem und vollstilndigem Integral untersehieden hat.