Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Algebra.

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Gr68eni kein Verhuiaitnis huitten. Die Proportion - 1: 1 == 1:- 1 werde
als eine wunderbare Paradoxie angefillirt, da - 1 (eine Zahi weniger
als 0 und deshaib weniger als 1) zu einer gr68feren sein soilte, wie,diese gr6Bere zur kleineren. In diesen Verhiiltnissen diirfe man aber
nur die absoluten Werte in Betracht ziehen 1).
Nach Maseres war der bekannteste Gegner des Negativen in
England zu dieser Zeit William Freud (1757-1841). Er promovierte 1780 anl Christ's College in Cambridge als zweiter,,wrangler".
Nachdem er emn haib Dutzend Jalire lang als Tutor der Mathematik
an der UniversitHi gewirkt hatte, wurde er dureli die Paradoxien,
fiber,,Zahien weniger als Nichts", fiber - a. - b == + ab, Uiber
imaginuire Zahien, deren Produkt die Eiuheit ist, zur Verwerfung
alter negativen und imaginuiren Zahien nnd zur Vorbereitung eines
Lelirbuches einer streng aritlimetischen Buchstabenrechnung gefffihrt. So entstand sein Werk, Principles of Algebra, London
1796, mit einem Appendix fiber Gleichnugen von Francis
Maseres.
Die Argumente, welehe diese Gegner der Algebra vorbrachten,
waren nLnanfechtbar. Der Ausdruck, negative Zahlen siud,,weniger
als Nichts" oder, nach Newton,,,nihilo minores", war nicht geh~irig,definiert und deshaib paradoxisch. Negative Zalilen, definiert als
solche, die,,abgezogen werden mniisseu", waren gewil3 sinneswidrig,
sobald der Subtrahend gr~1er als der Minuend angenommen wurde.
Man versuchte in den Lebrbtiehern das Unm6gliche zu tun, namrlich
negative Zahlen aus positiven Zahlen abzuleiten, ohue die Operation,der Subtraktion ansdriicklich zu erweitern oder den Begriff,,weuiger
als Nichts" zn beleuchten. Eine solohe Erweiterung oder Beleuchtung
huitte die Veraligemeinerung des Zahibegriffs erfordert. In keinemi
Lehrbnche erschienen aber negative Zahien in kiarem Lichte, als
eiue willkiirliche Erweiternug des Zahlbereichs, oder als eine Aunahme
(Voraussetzuug), weiche mit der Aunahme positiver Zahien auf
gleicher Stufe stand u-nd in der Definition selbst die Existenz negaliver Zahlen begriludete.
Die besprochene Reaktion ist eine eigentflmliche Erscheinuug in,der Geschichte der Mathematik. GewiB fehlte es dem Robert
Simson, Maseres und Freud an Einsicht, an einem ins Innere eindringenden Erkennen. Soinst, statt negative und imaginkie Zahlien,
weiche nie falsche Resultate lieferten und eine groBe Okonomie im
mathemzatischen Arbeiten erzielten, zu verwerfen, wuiren sic tiefer in
die Theorie derselben gedrunagen, urn ihre logischen Grundlagen zu

1) Rudiments of Mathematics, S. 31.