Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partiele Differentialgleichungen.96

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'daB statt eines partik-uliren Wertes von p oder q emn solcher von u
mit zwei willkiirlichen. Konstanten und alligemein fUr den Fall, daB
a~ einae Funktion. der n Variabein x, y, z,..ist, emn partikullirer
Wert von u mit n Konstanten. ge-nau dieselben Dienste leistet.1)
Diese Bemerkung ist sehr wielitig; Lagrange zeigt damit den Zusammenhang zwischen vollstiindigem und aligemeinem Integral einer partiellen Gleichung,; dabei ist beachtenswert, daB er in
dieser Abliandlung den Wert von u mit n Konstanten noch niclit
als vollstiindiges Integral, sondern nur als partikuldre Ldsnng ansieht.
In seiner groBen Abhand(lunrg fiber die singuliiren Integrale vom
Jahre 1774 gelit Lagrange, naclidem er den Zusarmmenhang von
vollstiindigem, singuliirem und ailgemeinem Integral ausfiihrlich darogetan, wieder auf die Integration der partiellen Differentialgleichuing
1. Ordnung und beliebigen Grades emn und zwar gribt er Integrationsmethoden. fdr versehiedene anusgezeichnete Gleiehungstypen. Ist z. B1.
eine Gleichung der Form
vorgelegt 2), So setzt er 3) genau wie Euler, der diese Gleichuug anch
scion behandelt hat (vgl. S. 961), f (, x) gleici einer Konstanten at,
berechnet aus dieser Gleichung d als Funktion von x und a und
integriert endlich bei konstantem a. So ergibt sich
z = x +?v";
wo X eine Funktion von x und a, T eine solche von y und a ist;
ganz analog, ftihfrt
ant' eine Gleichung
2=+
wo Y eine Funktion von y und a, $~ eine von x und a bedeutet.
Da aber bis auf eine additive Kionstante TP' Y und.$ X sein
mnuB, so ergibt sich
z = X + Y +b.
Letztere Gleichung ist, weil sie die zwei Konstanten a und. b enthiilt,
als das vollst'indige Integral der gregebenen Gleichung auzuselien. Die
'Gleichung
') Oeuvres de Lagrange, t. III, p..572. 2)Schon 1772, ebenda, p. 561.
~)Ebenda, t. IV, P. 80.