Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Absohnitt XXVII.

rentialgleichung mit drei Variableii zurflek, und es ist wohi nur die Emnfachheit dieser Beispiele daran schuld, daB er die lntegrabilitditsbedingung dieser Gleichung nicht stiirker betont und mit zur Integration
heranzieht (vgl. S. 960 oben); in seinem Aufsatz von 1762 formuliert
er das Problem der Integration der partiellen Differentialgleichung
1. Ordnunug als die Aufgfabe, Pdx + Qdy zn eijuem totalen Differential
zu machen, weun. zwischen P und Q eine Nebenbedingung besteht
(vgl. S. 957), wiihrend Lagrange dasselbe von du -pdx - qdy
fordert; der Gedanke, die Integrationskonstante einer gegebenen Gleichung variieren zn lassen, findet sich endlich andh schon bei Euler
(vgl. S. 959 unten). Von den Beispielen, an deneni Lagrange seine
Methode erdrtert, sei nur eines mitgeteilt: Far q == P, wo P eine
Fnnktion von p allein, erhuilt man als Integrabilit~itsbedingung
dp _p~p d~p du0
dy dx du du
Man findet leicht p x=c, d. h. q ==A und demnach
du - dx- Ady == 0.
Darans ergibt sich
N u - ax — Ay; dNA'
darans ist a~ zu berechnen uind in
u -cax -Ay -f t 0
einzusetzen. In dieser Weise z'dhlt Lagrange nodh eine gauze Reihe, im1
ganzena neun, Fiille auf, in welchen man mit der erwahunten. linearen. Hilfsgleidhung zum Ziele kommt; daru-nter befindet sidh z. 13. der Fall,
daB die gegebene Differentialgleidhung eine der beiden Variablen x
oder y niclit enth~ilt. Die erwaihnte partielle Gleichung mit vier
Variablen benutzt er hierbei lediglich als H'Ifsgrleichuug, die unter
Umstanden, also etwa in den erwillnten neun Miillen, mit Erftolg benutzt werden kaun; daB durcli sie allgemei-n die Integration der
Gleidhung beliebigen Grades auf den linearen Typus zuriickzufiihreni
ist, vermag er nicht eijazusehen 1), nud daran ist wohi die groBe Allgerneinheit dieser Idee sdhuld. Daflir weiB er aber seine Methode,
aus einer Partiknliirl~sung (,,integrale particuliehre") das,,integrale
complete" herznstellen, ihrer vollen Bedeutung nach zn wtlrdigen, indem er sie als cmn besonderes,,Prinzip" hinStelltY2) Endlidh zeigt er,
2) In seiner Abhandlung von 1786 (vgl. unten) gesteht er selbst zu, die,
alig~emeine Gleichung li~heren Grades niclit 16sen zu kcinnen. 2) Oeuvres de
Lagrange, t. III, p. 571.