Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen.96

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mnit den drei Variablen it, x und y und ist als solehe liingst bekannt,
wie Lagrange selbst mit den Worten,,connue depuis longtemps"
zugibt; voilkommen neu ist indessen die Anwendung, die Lagrange
von ilir maclit. Er denkt sich niimlich mit Hilfe der gegebenen
Differentilagleichung q (oder _p) dureli x, y, u uind _p ausgedriickt und
in die genannate Integrabilitiitsbedingung eingesetzt; diese definiert
dann p als Funktion von u, x und y. Schein bar ist darnit wenig
erreicht, denn die neue Gleichung hat vier Variable it, x, y und _p;
bedenkt man aber,7 daB die Gleichung linear i st, daB ferner eine partikulilre L6sung, wenn sie -nur eine willkiirliche Konstante enthalt, die,,solution ge'nerale et complete" der ursprtingliehen Differentialgicichung
liefert, so Mit sich schon ersehien, weiche Bedeutung sie unter Umstiinden erlangen kanD. Urn letztere Beha-uptung zu erweisen. verwendet Lagran ge einen auf der Variation der Konstanten beruhenden
Gedanke-ngang. Sei ac die Integrationskonstante, weiche, wie verlangt,
in die partikuliire Lbisung fair _p eingeht. Es ist dann
est. J%~M (du - pdx - q dy) =- N
das Integral der Gleichung
du -p dx - qdy == 0;
N ist eine Funktion von u, x, y und cX. LMi3 man jetzt ac variieren,
so ist
+ dN
N-VjM(du -- pdx - qdy)+ ~- dcc;
da aber der Ausdruck unter dem ersten Integralzeichen emn vollstiindiges, Differential ist, so muB auch, wie L a grange folgert, -J. dcc
diV~~~~~~d
emn soiches sein, d. h. es m-uB d eine Funktion f' (ac) von cc allein
sein. Somit erhiilt Lagrange die beiden Gleichungen
N ~~~dN
N-(cc) =c st. und d f' (ty)
mit der williklrlichen Funktion f, zwischen denen man sich cc eliminiert
denken muB; NY bedeutet hierbei den durch Integration von
M (da - pdx - qdy)
bei konstantem cc erhaltenen Ausdruck in it, x, y und cc. flier sei
bemerkt, daB L agranges Gedankengang nicht v,511ig unvorbereitet
war. Wie scion gezeigt, fihirt Euler die Lisung von (d) a und
einigen i-ihinlichen Problemen auf die Integration einer totalen Diffe