Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXVII.

fifihrung neuer Variabler hin (vgl. S. 994); fUr die Gleichung 2. Ordflung, die L aplace in dem n~imlichen Aufsatz behandelt, gibt er
selbst E ul e rs Integralrechnung als Quelle an.
Von den Lagrangesehen Abhandlungen ist zuerst emn grbb1erer
Aufsatz in den Memoiren der Berliner Akademie von 1772 zn nennen 1),
weleher der partiellen Gleichu-ng 1. Ot'dning beliebigen Grades gewidmet ist. Sei it eine Fnnktion von x und y allein, pdu nnd
q - d-y' wobei die partielle Differentiation niclit besonders anagedeutet
wird. Die Integration einer Gleiebung beliebigen Grades zwischein
u, x, y, p und q bedentet dann niehts anderes als die Anfsuchnng
einer Gleichungr zwischen u, x und y allein. Die gegebene Differentialgleichnng gestattet nun, wie Lagrange sagt, etwa q dnrch
u, x, y, p auszudrfleken;,,die Grbl~e p ist hierbei noch nnbestimmt, und
die ganze Frage reduziert sich darauf, p derart zu bestimmen, daB die
Gleichung d1u =-p dx + q dy oder vielmehr du - p dx - q dy =- 0 integrabel. wird." Lagrange verlangt also, daB ]II(du -pdx - qdy)
das totale Differential einer Funktion N2 von ui, x und y wird. Das
ergibt sofort die drei Gleiehungen
dN dN dN
du. dx=-MiP; --
welehe sich dureli folgende drei ersetzen lassen
dMl d(Mlp). dil M d d(iq) d d(Mp) d d(Mq)
d x du I dy du I' d dx
Die letzte Gleichung lMt sich aber auch in der Form
selireiben, woraus durch Einfiihrung der beiden ersteren Gleichungen
Md~p dq\ d (JMq) ~d(Mp)0
kdy d x -Pd qd
kommt. Daraus folgt endlich
dp dq dq dp0
dy dx Pd~ du 0
Diese Gleichung, von der Lagrange noch eine zweite ilerleitung
gibt, ist nichts anderes als die Integrabilititsbedingung fuir die totale
Gleichung
du -pdx -qdy = 0
') Oeuvrps de La g ra ng e, t. III, p. M 9. Die La g ra ng eschen Arbeitell
sind iibersetzt in 0Ostwalds Klas~ikern der exakten Wissenschaften.