Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen.96

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Fiflirt man die dritte dieser Gleichungen in die zweite emn, so er'h~lt
man durch Yergleichung mit der ersten
Demnach geht die vorgelegyte Differeiitialgleichung Uiber in
(Z az au __cl Z al
Da u noch unbestimmt ist so kann man trennen in
0 ~aU +a ( ) und o- I ()+ V.
Die letzte Gleichung reduziert sich, wenan aus der vorletzten. y als
Funktion von x und u bekannt ist, auf eine totale Gleichung (weilt
mian u wiihrend der Integration als konstant ansehen kann). Die
vorletzte Gleichung ftihfrt, wie Laplace sich ausdriickt, durch Kombination. mit Ou = ~x + - (-) y auf die Integration von
(1/ - cujX = 0.
Um das Argument der willkiirlichen Funktion der Integraigleiching
zu erhalten, brauclit man, wile Laplace angibt, nur das Integral der
letzten Gleichung nach der Integrationskonstanten aufzuldsen. Laplace hat also im Grunde genau dieselben totalen Gleichungen wie
Lagrange, denn die zwei Gleichungen
0 = a +I V und y - c((x=~0
sind, abgesehen von dem ftir die Integration unschiadlichen Parameter it,
nichts als die bekanuten L agrangeschen Gleichungen
~x oy
y1 aJ v
in etwas anderer Formn - und das ist nicht veliwunderlich, da in
letzter Linie alle Integratiousmethoden auf dieses charakteristische
System zuriickkomnien werden; abler die kiare, elegante, die Bedeutung
jenes Vereins von Gleichungen viel schdrfer betonende Darstellung
von Lagrange zeigt deutlich, daB sich Lagrange seines Fortschritts, der die endgiltige Erledigung der in Frage stehenden Gleichung bedeutet, volikommen bewnf~t war; auch ist bei Lagrange
von der* Beschrikikug des ac Abstand genommen. Was das Entsteheu
der L api a ceschen Methode anlangt, so weist sie deutlich auf die
Euler sche Behandlung partieller Differentialgleichungen durcli Eml62*