Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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962 ~~~~~Abschnitt XXVII.

einer beliebigen Gleichung zwischen _p, q, x, y mid z erw~ihnt Euler
zwar'), weil3 ilin aber natiirlich nur in spezielien F~illen zu behandein.
Urn sich einen Begriff zu machen, wie er sich in soichen Einzelfiillen zu helfen weiB, sei seine Integration 2) von
Z =.pP+ qQ
kurz skizziert, wo Z eine Funktion von z allein ist, P und Q Funk..
tionen von x und y bedeute-n. Emn Multiplikatorensystem L, M, N
liefert hier
Ld = L~pdx +Lqdy; ]JiZdx ]JMpPdx+M]JqQdx;
NZdy == NApPdy + NqQdy;
durch Addition folgtn
Ldz + Z(Mdx -1 Ndy) = p ((L + HP) dx + NPdy)
+ q ((L + NQ) dy + ]JQ dx).
Euler verlangt jetzt das Bestehen der Proportion
L+HMP: NP=H Q: L +NQ,
d. li.
L=-MP -NQ,
und erh~ilt so die Gleichung
- dz (HP + NQ) -F Z (Hdx + N~dy) = (lMlq - Np) (Qdx - Pdy).
Eim neuer Multiplikator B, der Qdx - Pdy integrabel maclit, habe
die Gleichung
R(Qdx -Pdy):=d U
zur Folge; ferner sei Mdx + Ndy_ ebenfalls integrabel == dYF, was
Mk+ NQ
durch geeignete Wahl von H und N immer erreiclit werden kaun.
Durcli Einfifihrung der Grb13en U und V in die umgeformte Differentialgaleidhung ergibt sich endlich
(MP +NQ)(- dz +Zd V)= M N d U,
woraus ersichtlich wird, daB Np - Mq eieFunktion von U allein
BJZ(MP + NQ~)"
scim muB3. Diese Einsicht fillirt unmittelbar zu dem gesucliten Integral
f;V +f (U).
Aus den angeftilirten Beispielen gelit hervor, wie Euler nach Bedarf

I) Institutiones calculi integralis, vol. III, p. 142. 2) Ebenda, p. 168.