Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen.96

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do ==px + - ~fxdp - A dp)
flier muB notwendig
p p
d. li. eine Funktion von -p allei-n sein; das Integral -,,solutio generalis", wie Euler hier, oder,,completa", wie er bald darauf sagtbesteht dauan aus den zwei Gleichungen
x = 4 —~(p u nd z 2 Y +p f'(p)-f (p),
pp p
zwischen denen man sich _p eliminiert denaken muB. Von den hierber
gehb5rigen Gleichungen sei noch
pp + qq 1
erwdhnt, sowie der Fall, daB q eine beliebige Funktion von p ist.
Enthailt die gegebene Differentialgleichunag auBer p und q noch die
Variablen x, y und z, so unterseheidet Euler wieder verschiedene
Typen. FUr die Behandlung der Gleichu-ng P = Q, wo P eine
Funktion von p und x, Q eiine solche von q und y ist, gibt er folgende Regel 1): Man setze P == v und demzufolge auch Q = — v, berechne
p als, Funktion von x und v, q alk Funktion von y und v, bilde
ferner bei konstantem. v die Integrale
fdx=B - und fq dy=S
Diese Integrale liefern aber rtickwiirts, wenn man jetzt auch v als
variabel ansieht, die Gleichungen
dBR=-p dx +Vdv und dS= q dy-f-Udv;
darnit aber daun
d = d-B+ dS -dv (V+ U)
integrabel. werde, muB r+U (~
welch letztere Gleichung mit
z = II - S - f (v)
zusammen das gewiinischte Integral darsteilt. Das Verfabren beruht
ima Prinzip auf der Variation der Konstanten. Den ganz aligemeinen Fall

1) Institutiones calculi integralis, vol. III, p. 130.