Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Diflferentialgleichungen.95

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fl =c p(z -Ax);
hieraus ergeben sich unmittelbar cc und co. Die Gleichung
d + d + 63 0,
dx dz
in der t und co Funktionen von x und z sind, geht verm~ige
dz =- cxdx + /3dz
fiber, und das Problenm reduziert sich auf die Aufgabe,
jPdz - ~fdx --- co dx
zu einem vollstaindigen Differential zu machen. D 'Al em b ert unterscheidet einzelne Fdille, in weichen ihm die Integration gelingt, wenn
namlich fldz oder ~ j3dx oder endlich do - ~ dx volistiiudige Differentiale sind. Kurz darauf untersucht er die Gleichung
dq + ~dq + 0
dIX dz~
die si chi mittels q =: E1 a-uf den vorigen Fall reduziert, sowie die
Gleichung, die sich dureli Addition einer weiteren Fnnktion ergibt.
Wie ungeordnet, unzusammenh~ingend und nniibersichtlich die
Kenntnisse auf dem Gebiet der Gleichung 1. Ordnung waren, zeigt
der diesbeziigliche Abschnitt in Eulers Integralrechnung. Trotzdem
ist daselbst wenigstens emn Versuch gemacht, die verschiedenen gesammelten Resultate in eine gewisse Ordunu-g zn bringen und stufenweise vein Einfachen zum Sehwierigeren vorzudriiugen. Der einfachste
Fall ist der, daB die Gleichung nur eine der beiden partiellen. Ableitungen enth~ilt. Die Gleichung
integriert Eunle r dadurch, daB er das gleicliwertige
dz == adx + qdy
nach den fuir totale GleichUngen mit 3 Variablen geltenden Methoden
behandelt. Er nimmt also zuniiehst y konstant an, woraus dy == 0
folgt, und erhillt ans dz-= a dx die Gleichung
z=ax -H const.
indem er jetzt die Integratio-uskonstante als Funktion von y auffaft,
hat er das gesuchte integral bereits gewonnen; dureli Differentiation
erhiilt er naimlieb rflckwiirts