Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen.97

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es erst sehr spat zu einer eigentlichen Theorie der Gleichungen 1. Ordnung, und alles, was auf diesem Gebiet vor Lagrange geleistet
wurde, verdankt weniger planmilBiger U~berlegung als Kunstgriffen
und geistreichen Versuchen sein Entstehen. So wird begreiflich, was
imn ersten Augenblick wundernelimen muB, daB la-nge Zeit die
Gleichung 1. Ordnung nicht melir Fortschritte machte als die Gleichungen hbheren Grades: man integrierte eben, was man integrieren
koiurte, und da lagen einfache Gleichungen h~heren Grades oft viel
niiher als komplizierte 1. Ordnung; allerdings sind die derart gefundenen integrablen Typen meist wenig ailgemein. Als erste Abhandlung haben wir einen Aufsatz von Euler zu nennen 1); die Fragestellung ist etwas kompliziert und die partielle Gleichung tritt nur
nebenbe~i versehlieert auf. So stellt E ul er die Aufgalbe
Pdx + Qdy
zn einem. totalen Differential d V zu machen, wenn gleichzeitig die
Relation
Px + Qy == 0
bestelit; zur Lbsung der Aufgabe schreibt er
d V =-Pdx +Qdy ===Py ydx -xdy und erkenut daraus, daB V und
yy
Py Funktionen von S == -x sein mtussen.2) Ziemlich nebe-nbei, im.
y
Corollar 11) tritt der eigrentliche Charakter der Aufgabe deutlicher
hervor; es ist niimlich darauf hingewiesen, daB
( = {) und Q =dV),
ist. In einer Menge von Einzelbeispielen behandelt Euler sodaun
die allgemeinere Aufgabe, V aus
dV== Pdx + Qdy
zu bestimmnei, wenn P uncl Q durei eine beliebige NebenbedingunDg,
wie z. B.
pp + QQ = XX+ yy,4)
verbunden sind. Der wichtigste Fall ist aber der, daB Q eine Funktion
von P allein. ist.5) Ist
1) Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, t. IX, 1762/63 (1764),
p. 170 iff, 2) Diese Sehlu~weise ist durehaus niclit neu; vgl. Cantor 1112,
0S. 901. ') Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, t. IX, 1762/63 (1764),
P. 176. 4) Ebenda, p. 196. 5) Ebenda, p. 192.