Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleiebungen.95

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geonietrische U~berlegung und IBeharndlungsweise in den Yordergrund
geriickt, ist geometrische Versininlichung das Ziel der Untersuchung;
Mon ge konastruiert niimlich genau wie friiher nicbts als FlIichen, die
durch eine gegebene Raumkurve hindurchgehen und eiue gegebene
Integralgleichting erfililen; bei Besprechung von einzelien Beispielen
wird er dann zn dem erwiihnten Satz gefiihrt; er sehreibt') die
IDifferentialgleichung in der Form
~dx + - 0
deutet hierbei durch die Svmbole d, C d die versehiedenen Differe-ntiationen an (vgl. S. 88-5) und erwhiint, daJ3 sich statt des Integrals
z == pK V) auch z ~ p ( V F ip z) sebreiben MiIt. Naclidem er den Satz
auch anialytisch bewiesen hat, weist er zum besseren Verstiindnis noch
auf die Gleichungen
dydz -adxaz = 0; dyiz -dx-z == 0; dyz - Zdx~z = 0
hin, wo Z eine Funktion von z ist; diese Gleichungen haben bzw.
die Integrale
zV=qjT ax +y); z 9q(z x +y); z =q p(Zx +y),
so daB also die Yariabein z und Z auf dieselbe Weise in das Integral
eintreten wie die Konstante a.
Das ailgemeine Prinzip der Behandlung partieller Differentialgleichungen, wie Laplace, Lagrange und Monge es tiben, d. i. emnfach die Reduktion auf totale Gleichungen, unbeklnimmert darumi, ob
diese integrabel sind oder niclit, hat Trembley mil~verstanden; er
betont nuimlich - was nichts Neues ist -, daB die zwei totalen
Gleichungen, auf welche Lagrange die lineare partielle Differenatialgleichung 1. Ordnung zuriickgefifihrt, bat, ebenso schwierig zu integrieren sind als die urspriingliche Gleichung, und geht deshalb unmittelbar' auf die partielle Gleichung selbst emn. An diese Untersuchung kniipft sich eine ganze Reihe anderer Aufsiaitze, die alle
dieselbe Methode in ungeheuren Rechnungen durchfifihren; wir werden
bei Gelegenheit der Gleichung 2. Ordiunug darauf zurfickkommen.
Auch Cousin zielit die direkte Behandlung der partiellen Differentialgleichung der Diskussion der ogleicliwertigen totalen Gleichungen vor;
ja wabrenad die zeitgendissischen Mathematiker froh. sind, die partiellen
Gleichungen auf totale reduzieren zu k~innen, verwandelt er gerade
uingekehrt gew~bhnliche Differentialgleichungen in partielle; er und
nach urn Tr'embley suchen integrable Fiille, die sich in vorgegebener

') Meinoires pr~sente's par divers Savans 1778 (1776), p. 288 corollaire II.