Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale uud partielle Differentialgleichungen.94

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bedenken ist, daB das Resultat, weil liingst bekannt, niemanderi in Erstaunen setzte und deshaib auch einige Nachsicht beztiglich seiner Herleitung erwarten konnte. Verstiludlicher wird dieser gauze Gedankengang, wenn man bertiiksichtigt, daB Monge die Bildung des Integrals
der partiellen Gleichung aus den Integralen der totalen Gleichungen
als die,,operation inverse" zur Elimination der willktirlichen Funktion
aus einer gegebenen IntegralgleichUng angesehen haben will. Urn
diese Elimination mdgliehst ejufach zu gestalten, verwandelt er z. B.
die Gleichung V == p ( U) mittels der Substitution U = a in die beiden
Gleichungen
U =a; V=Tcp(a) = b,
die zn gleicher Zeit stattliaben miissen und zwar in der Art, daB die
eine die notwendige Folge der andern ist. Aus d U= 0O und d V`=0
erh~ilt er
(jdx ~ ~dy O
und
(~)dx +
woraus durch Elimination,der unbestimmten GroiBe" -Y die partiell
dxle
Gleichung folgt:
(dU (dV(dY(dV) =0.
Statt dyzn eliminieren, kanri wie M on ge noch erwiihnt, dieselbe
SchluBgleichung dureli Elimination einer Unbestimmten o~ aus zwei
anderen Gleichungen hervorgehen; letztere stellen dann ebenfalls emn
der SchluBgoleichung Aiquivalentes System dar. Den hier eutwickelten
Pr'ozeB faf~t daun Mo n ge in folgende Regel zusammen: Man setze das
totale Differential des Arguments der in der Jlntegralgleiehung auftretenden wilikuirlichen Funktion gleich Null, differentiiere sodann die
Integraigleichung selbst derart total, daB dabei die willkiirliche
Funktion als Konstante behandelt, wird und eliminiere endlich aus
den beiden so erhaltenen Gleichungen, sowie der Jntegralgleichung
die willkilrliche Funktion dy~ so erh~ilt man die zur gegebenen Integraldx'
gleichung geh~irige Differentialgleichung fuir den Fall, daB auch noch
die Differentialquotienten der willkllrlichen Funktion in der Integralgleichung auftreten, ist wenigstens hingewiesen. Nun ist diese
ilMethode, aus dem Integral auf die Differentialgleichung zu selilieBen,
in einem anderen Aufsatz 1) desselben Bandes der Pariser Memoiren
bereits ausfiihrlich auseinandergesetzt und an Beispielen erilutert;

1) Histoire de I'Acad6mie des Sciences 1784 (1787), p. 85 if.
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