Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXVIL

und die so erhaltenen Schlul~gleich-ungen derart zerf alit, daB sie unabhiingig von darin noch auftretenden partiellen Derivierten GeltUng
haben. Sei z. B. die lineare Gleichung 1. Ordnung
Mp + Nq +L =Ozu integrieren, wo M, iV, L gegebene Funktionen von x, y und z,
p und q die partiellen Differentialquotienten von z nach x bzw. y
sind.') Diese Gleichung stelit, wie Mon ge sagt, lediglich eine Beziehung zwischen p und q dar, aus weicher allein, d. h. ohne das
llinzukommen einer weiteren Gleichung, _p und q nicht jedes ftir sich
berechnaet werden k~nnen. Eliminiert man also p bzw. q mit Hilfe
der immer bestehenden Gleichung
dz ==pdx + qdy,
so ergibt sich
Mdz ~ Ldx q q(Mdy - Ndx)
und.
Ndz + L dy =p(Mdy - Ndx);
damit das aber niclit zwei Bestimmungsgleichu-ngen ffir q und p sind,
milssen nach Monge die drei Gleichungen
Mdz +Ldx ==O; ]Idy -Ndx =O; Ndz +Ldy =O
gleichzeitig bestehen, die indes nur zwei voneinander unabhiaingige
Gleichun gen darstellen. Genau denselben Gedankengang verwenadet
M o nge zur Behandlung aller anderen partiellen Gleichungen, wie wir
in den einzelnen Fallein an Ort und Stelle sehen werden; hier sei nur
mitgeteilt, wie M o nge den Zusammenhang zwischen den Integralen
der partiellen und der totalen Gleichungen herstelit. Er betrachtet
es niimlich als wesentlich, daB, wenn wir das eben erwhUlite Beispiel
beibehalten, von den beiden totalen Schluf~gleichungena nicht jede einzelne fair sich, sondern beide zusammen statthabein, und. kommt sodann durch eigentfimliche Deutunag des Wortes simultan zum Integral
(integrale complete) der gegebenen partiellen Gleichung. Er erklilrt den
Begriff simultan folgendermal~en: Sind V== a and U== b die vollstdindigen
Integrale des der partiellen Gleichung aquivalenten Systems, so miissena,
weun beide gleichzeitig bestehen sollen, niclit V und U jedes ejuzein
konstant sein, sondern es m~uI U konstant sein, solange V es ist und. un'gekehrt; ist hingegen das eine variabel, so ist es das andere auch, ou autrement... elles sont fonctions 1'une de 1'autre, sans rien statuer d'ailleurs sur
la forme de cette fonction. (Ygl. o. S. 536 und 561.) Man kanil
dieser giticklicheni Dialektik, durch welche Mon ge die Gleichung
V == p ( U) plausibel macht, nicht die BewunderUng versagen, wobei zn

') Histoire de I'Acade'mie des Sciences 1784 (1787), p. 121.