Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichwngen.94

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Abliandlung von Lagrange Uiber Natur und, Fortpflanzung des Schatll
Berticksichtigung finden; des gleichen Verfassers Aufsatz Uiber Hydrodynamik in den Berliner Memoiren von 1781 muBte dagegen ftbergangen werden, da er inhaitlich wie aucihiluferlich den ausgesprochenen
Charakter einer Untersuchung auf dem Gebiet der theoretischen Physik
besitzt; die darin auftretenlden Gleichungen sind nineistens zn speziell
und die zu ilirer Lbsungr beuutzten Kunstgriffe bei allem Scharfsinn
zn wenigr ailgemein, als daB sie die Aufstellung rein mathematischer
Theorien hi~tten zur Folge haben k6nnen.
Was die Integration der partiellen Differentialgrleichungen betrifft,
so erkanute man bald, daB das Vorkommen gerade der partiellen iDi Cferentialquotienten in einer Gleichung auf die lntegralgleichung keinen
-anderen Einfiul3 ausiibt, als daB in diese willkilrliche Funktionen eiigehen, so daB also das eigentliche Jntegrationsgeschuift keinerlei Operationen erfordert, die. von den bei gew6hnlichen Differentialgleiehungen
notwendigen priuzipiell versehieden wAren. Das Problem der Integration partieller Differentialgleichungen Miit sich demnach in zwei
voneinander unabhdngige Aufgaben trennen, einmal. in die Aufdeckung,der Art und Weise, wie die willkilrlichen Funktionen in das Integrat
ejutreten, sodann aber in die Forderung, alle durch die nrspriingliehe
Gleichung definierten eigentlichen Integrationen fair sich allein, d. i.,durch Gleichungen darzustellen, deren L~5sung keine willkiirlicbeii
Funktionen melir in sich birgt; das sind. eben totale Gleichungenl.
Deshaib begnilgen sich auci die Mathematiker, sofern es sich
aiicht um spezielle Gleichungen handelt, meistens damit, die partiellen
Differentialgleichungen auf totale zurUckzufilhren und den Zusammenhang zwischen den Integralgleich ungen der partiellen und totalen
Gleichungen auzugeben. Diese Reduktion wird wiederholt als das
Grundprinzip der Integration partieller Differentialgleichungen angesprochen; Laplace sagt') klar und deutlich: je regarde une 6quation aux diffirences partielles comme inte'gre'e, lorsqu'elle est rametiee
a l'inte'gration d'nne equation aux diff~rences ordinaires. Wegen einer
iihnlichen Stelle bei Lagrange vergleiche man S. 972.
Diese Reduktion auf totale Gleichungen bat am konsequentesten M ongYe ineiner grol~en Abhandlung in den Pariser Memoiren von
1784 durchgefifhrt.2) Er findet ffir die versehiedensten partiellen
Gleichungen die entsprechenden totalen dadurch, daB er die partiellen
Differentiaiquotienten mit Hillfe der Gleicliungen, weiche diese mit
den totalen Differentialen verbinden, so weit als, m~5glich eliminiert
1) ilistoire de l'Acade'mie des Sciences 1773 (1777), p. 344. YgI. auch die
Ilistoire desselben Jalires, p. 44. 2) Ebenda 1784 (1787), p. 118-192.
CAN FToR, Geschichte der Matheinatik IV 61