Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen.94

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stimmen, sobald man ihre Werte an der Oberfflicbe kennt. Sei fuir
diese Z ==1 + acu, wo t& eine beliebige Funktion von X ist, so erhiilt
man unter Vernaehlissigung lidherer Potenzen von a:
L aplace begntigt sich mit der Angabe eines partikulliren Integrals
dieser Gleiebning. Lagrange besehiiftigt sich nach sorgf~iltigen Literaturstudien mit der Untersuchung der Wellenbewegung an der Oberffiiche eines beinahe horizontalen Gewiissers von sehr geringer Tiefe 1)
und kommt zu dem. Resultat, daB sie den Gesetzen der Schailfortpflanzung in einer ebenen Luftschicht geliorelit. Das wichtigste bierher geh~rige Problem ist aber das der sechwinge-nden Saiten und. tiberba-npt der musikalischen Instrumente. Abgesehen von der physikalischen Bedentung dieses Problems hat seine Behandlung nach den
versehiedensten Rielhturigen hin f6rdernd und fruchtbringend auf die
Matheinatik eingewirkt. Der gaunze Streit fiber die Art der in den
willkiirliehen Fnnktionen einer Integraigleichung zulissigen Unstetigkeiten, die intensive Besch~iftigunag mit den partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung, die sehliefflich notwendig zn einer Theorie
dieser Gleichungen filliren mnl~te, wurde dureli die genannte Anfgabe
veranlal~t. Eben dieselbe fillirte - und. das war, weun man audi
das Geleistete -nicht zu erkennen vermochte, immerhin emn bedeutender
Schritt - unbewufit zur Darstellung einer Funktion nach Vielfachen
von sinus nnd cosinus 2); die Physik verdainkt diesem Problem die
Erfindung des Prinzips der Superposition der Wellen durech D. Bernoulnih3) und des Begriffs der Freiheitsgrade eines Systems, von dem
Euler bei Untersuchung einer niclit in einer Ebene, sondern rijumlich schwingendein Saite Gebrauch maclit.4) Urn die in Frage kommenden, fur die Probleme der bezeichneten Art charakteristischen Differentialgleichungen der Bewegung bzw. deren Integral zu finden,
stehen zwei Wege offen; der eine gelit von den Bewegungsgleichungen
einer kompressiblen Fhiissigkeit aus, der andere bildet zundichst das
Gleichuugssystem, das die Seliwingungen einer endlichen Anzahl von
Massenpunkten darstelit, integriert sie und sucht dann durch Grenzfibergang das fUr einen kontinuierlichen Komplex von Pmikten gel') Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 746 (Berliner Memoiren fuir 1781).
2)Vgl. diese Vorl., 1112, S. 905 ff. 3) Histoire de, I'Acaddmie de Berlin 1753
(1755), p. 187, 189. Ygl. Journal des syavans 1758, p. 158. 4) INoVi Cornrnentarii Academiae Petropolitanae, t. XIX, 1774 (1775), p. 340 if. Das Problem
der Sehwinguingen einer Saite mit Beriicksichtigung ilires Gewichts: Acta Acalemniae Petropolitanae 1781 (1784), pars 1, p. 178 ff.