Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichuingen.93

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Totale Differentialgleichungen hih eren Grades finden sich in
Eulers Integralrechinung viel behandelt; der wichtigste Fall ist derjenige, in welehem die eine Variable nichit explizite in die Differentialgleichu-ng eingeht. Man erhiilt dann. das Integral zundichst in Parameterdarstellung. So liefert1)
x3 +p3 =- apx,
wo p - - bei Anwe-ndung der Substitution p = tx die Gleichungen
dx'
aui aum
X ~~und +
also -verm~ge dy == pdx auch
Fuud 4 -2ua
Die Schhui~gleichung zwischen x und y, weiche gerade bei diesem
Beispiel leicht aufzustellen ist, gibt Euler nicht an. Dagegen beinerkt er, daB jede Gleichung zwischen x, y und p, die in x und y
hoiiogen ist, eine derartige Integration in Parameterdarstellung gestattet. Durcb die Substitution y = ux wird niimlich die Gleichung
aufein sochezwiehe u _ndp reduziert; die beiden Gleichungen
dy==udx+xdu und dy==pdx
ergeben
pdx - udx = xdu,,
woraus
folgt. Da sich aber p durch u ausdriickt, so ist damit x als Funktion von u, und wegen y - ux auch y als Funktion von u gefunden.
Hier sei audihnoch eine Gleichung behandelt, auf weiche Lagrange') bei
Gelegenheit der Untersuchurig der Evolvente eiuer ebenen Kurve st~if~t:
11dy\2 V {dy\2 7
dm x- mdx) dy
+ d-iy — X- d2y dx
dx2 - dx 2
Er ersetzt das Argument von qT durch _p und erhiilt mittels der Substitution dy =z die Gleichungen
dxb
(1 + z2)zdx =- und + (1+z2) dx
X z dz
1)Institutiones calculi integralis, vol. I, p. 614. 2)Oeuvres de Lagrange,
t. IV, p. 594ff