Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXVIL

Von spiiteren Arbeiten1) fiber die lineare Gleichung sei nur nouh
eine Abliandlung von Lorgna besprochen.) Lorgna gaelt zuniiehst
auf die volistiindige Gleichung mit konstanten Koeffizienten eiii; er
substituiert fMr die abhUungige Variable y den Ausdruek
fz dz,, -fz dz)
wo u und z neue Variable sund, w~hrend It konstant ist, und driickt
dy, ddy,... durch z, u, y, dui und das Differential dx der unabhiingigen Veranderlichen x aus. Nach Einftihfrung dieser Werte in
die urspruingliche Differenitialgieichu-ng setzt er den Teil, weicher den
Faktor y besitzt, fflr sich gleich Null und erhiilt so zwei Gleichungen,
deren eine nur z und seine Ableitungen nach ii enth~illt, also als Bestimmungsgleichung fUr - benutzt werden kann. Zugleich ist Ordnungserniedri gung erreiclit. Interessanter sind die UCntersuchungen
fiber die Gle'ichungr 2. Ordnung')
lM~d x2 '(a + bx"~)ddy + x(e + fx2)dxdy + (g + hxn)ydx2,
von der u-s der Fall iL = 0 scion wiederholt begegnet ist (vgl.
S. 911 und 927). Durch die Substitution y - ergibt sich
x t
X XdX2-= X2 (a -4- bx")ddz + x(- 2a + e -4 (- 2b + f)x")dxdz
+ (2a - e + g + (2b - f+ h)xl")zdX2,
und diese Gleichang ist genau von derselben Form wie die urspriingliche. Die wiederholte Anwendung analoger Substitutionen
z=-~z=
wird daher wieder eine Gleichung der alten Form hervorbringren,
n~imlich
xm Mdx2 ==X2(a + b xn)ddz(ml) + x e - 2 ma + (f - 2 mb) Xn) dx dz(~'~
+ ((in + m2)a - mne + g + ((in + in2 )b - in (f + h) x) n zmldA2
1st nuin das. letzte Glied gleich Null, so wird die Differentialgleichungn
bedeutend vereinfaclit, und man kann ihr Integral leiclit angeben.
Ein derartiges Verschwinden wird eintreten, wenn die Gleichungen
rnt2a +i(a -e) +g =0 und n2 b +rn(b -f) +hIt= 0
1)Siehe auch Memorie di Mat. e Fis. Soc. It., t. VITI, 1799, parte I, p. 307ff
2)Ebenda, t. II, 1784, parte I, p. 177 if. 3) Ebenda, p. 197.