Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen.93

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vollst'aindige Integral der Gleichung bekaunt; dieses besitzt, notwendig
die Form
y == ap4- bq -Vcr +.
wo a, b, c,..n Integrationskonstanten, p, q, r,. ebensoviele partikuliire Werte von y darstellen. Betrachtet man, fiihrt Lagrange
fort, die wilIkitrlijhen Gr8Ben a, b, c,..als unbestimmte Variable
und setzt in den Ausdriicken dy, dly,..dn-1y den Teil, der von
der Yariabilitait von a, b, c,..herrillirt, imnier gleich Null, so ergibt sich
dy = adp + bdq + cdr +..
O==pda + qdb + rdc -+-.
d 2y ad2-p + bd2q +,cdlr -H
O dpda + dqdb + drdc -H+
dn1 ad"-'jp + bdn-'q + cdII'r + --
o _ d-pda + d"2'qdb + ~rdc + --
und. e-ndlich
d~y =adnp +- bdnq + cdnr +
+ dn-'pda + dn-1 qdb + dn-'rdc + **.
Auf diese Weise erhalten also die Ausdrticke fuir dy, d 2y,.. dn- 'y
genau dieselbe Form, wie wenn a, b, c,... konstant wiairen, und. auch
dny unterseheidet sich von dem. dny im Fall konstanter Koeffizienten
nur dnrch das Zusatzglied dn-'pda + dII'qdb + dn-'rdc +-F.-. Da
aber bei konstanten Koeffizienten die Ausdrticke fair y, dy,.. dny
nach den Voraussetzungen Uiber die GrdBen a, b, c,.. Pi q, r,
der unvollstiindigen Differentialgleichunig Genilge leisten, so mulssen
auch jetzt, im Fall der vollstiindigen Gleichung, bei Substitution
obiger Ansdriicke fMr y, dy,... d"'y alle Terme sich gegenseitig fortheben, und. nur das zu d71y gelidrige Znsatzglied und der Term X
werden davon eine Ausnahme machen. Es resultiert also die Gleichung
dn"'pda + dn-'qdb + dn'1rdc + dXn,
weiche mit den it - 1 Bedingungsgleichungeu
o ==pda + qdb -H rdc +
o dn-2pda + dn-2qdb + dn-2rdc +..-.
zusammen n Gleichungen zur Bestimmung der Differentiale da, db,
de,..liefert.
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