Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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930 ~~~~~Abschnitt XXVII.

der ersteren urn m Grad ermb5glicht 1), sind nach meiner Ansiclit die
vornehmsten Resultate der erwiihnten Abhiandlung. In der Praxis
muB natiirlich Lagrange hiinfig zu Rei1genentwieklungen seine Zufluecht nehimen; so setzt er2) z. B. ftir
d 2X,n dx nkx
-— + k + -+ =0,(
d U2 ~ u/ du t u
auf weiche Form er von
2m d22
az tm + d t2 =0
ausgeie-nd komint, die Reihe
x == Autr~ Bur+l + CUr+2 ~*
an und bestimmt die unbestimmten Koeffizienten in gewolinter Weise.
Die Lagrangesche Theorie der linearen Gleichung beliebiger Ordnung lUt sich sehr vorteilliaft auf die Gleichung
Ay +B(h +kt) ~ C(h +kt)2-9 +.F
anwenaden, wo h, k-, A, B,... Konstante sind. Lagrange bildet3)
die Adjungierte und setzt versuchsweise deren Integral (h + kt)r.
Das gibt eine Gleichung fuir r, nilmlich
A -Bk(r- 1) +Ck 2(r +l)(r +2) —..0.
Lagrange gelit dann auf die Ermittlung des vollstiindigen Integrals der ursprtinglichen Gleichung eim. Als Anwendung bringt er')
die Behandilung einer Gleichung, die eine unbekaunte, zu bestimmende
Fumktion enthuilt; das Problem fiflhrt mit Zuhulfenalime des Taylorschen Satzes auf eine Gleichung der erwiihnten Art von unendlich
hoher Ordnung. Solche Gleichungen, allerdings nur mit konstanten
Koeffizienten, hatte schon Euler vor jim behandelt (vgl. diese Vorl., JJP,
S. 896); in seiner Integrairecinung finden sich wieder eine Menge,
teils scion frillier gel6ster derartiger Gleichungen5), aber weder Eutler
noch Lagrange erkennen oder erwijinen, daB in die Li~hung dieser
Gleichungen, weil sie im Grunde genommen niclits als -Differenzengleichu-nge-n sind, eirie wilillkrfiche Funktion eingeht. Die unendlich
vielen Integrationskonstanten ilirer L~isunag konnten sie deshaib nicht
Zn dieser Einsicht ftihren, da ihnen die Darstellbarkeit einer beliebigen
Funktion durech trigonometrische Funktionen unbekaunt war.) Glei') Miscellanea Taurinensia, t. 1112, 1762/65 (1766), p. 183. 2)Ebeda
p. 187. 3) Ebenda, p. 190. 4) Ebenda, p. 201. 5,) Institutiones calculi
integralis, vol. II, p. 459, 463, 476, 4177, 480. 6-) Vgl. diese Vorl., III2, S. 9,07.