Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Algebra.

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weil nun - a als eine Schuld angesehen werden kann, so ist offenbar, daB waun diese Schuld 3 mal genommen wird, dieselbe auch
3 mal gr6iBer werden mtlsse, foiglich wird das gesuchte Product - 3 a
seyn." Nicht so klar ist der niicheste Ausspruch, daB,,wann eine
positive (ir6Be mit einer negativen multiplicirt werden soil, das Product negativ werde", da der Fall, wo + a mit - b multipliziert
werden soil, gar niclit besprochen wird. E uler fdhrt fort (Art. 33):,,Nun ist also noch dieser Fall zu bestimmen. ibrig: niimlich, wann -
mit - multiplicirt wird, oder - a mit - b. Hierbey ist zuerst
kiar, daB das Product in Ansehung der Buchstaben heiBen werde,
a b: ob aber das Zeichen -H oder - daftir zu setzen sey, ist noch
ungewil3, so viel aber ist gewis, daB es eutweder das eine, oder
andere seyn muB. Nun aber, sage ich, kann es niclit das Zeichen -
seyn? Danan - a mit + b mult. giebt - ab, und also - a mit - b
mult. kann nicht eben das geben, was -a mit + b giebt, sondern
es muB das Gegentheil herauskommen, welches nebmlich heiBt, + ab.
ilieraus entsteht die Regrul, mit - multiplicirt giebt + eben so
woht als ~ mit +"Diese Aussprtiche soll der Leser augenscheinlich
als einen Beweis der paradoxisehen Zeichenregel akzeptiereu, obsehon
man dieselben -kaum eine Demonstration nennen darf. Euler hiitte
beinahe ebenso gut behaupten kdnnen, das Produkt sei - ab, weil
es eben nicht das geben kann, was + a mit + b gibt; ein Schluf3,
den wir spiiter (S. 85) bei Daniel Porro wirklich vorfinden.
E ule r suclit gar nicht zu entscheiden, inwieweit die Operationsregeln
einfach auf Voraussetzungen berahen und inwieweit sie wirklich bewiesen werden kUnnen.
Die Beweisfiihrungen dieser Regel in anderen Lehrbllchern
weichen gew~ibnlich von der Eulerschen bedeute-nd ab.,UIm zu beweisen, sagt Saunderson'),,,daf3 -1 4 multiplizirt mit - 3, - 12
macht, multiplizire man -j- 4 nach einander mit + 3, 0 und - 3, und
die Produkte machen eine arithmetische Progression; die zwey ersten
sind 12 und 0, das dritte also - 12, und das Produkt von + 4 mit,
- 3 gleich - 12." Scbreibt man hier ftberall - 4 und + 12, statt
+ 4 und - 12, hat man Saunders ons Nachweis, daB- - - = —+
Der Leser mufi dabei mit dem Satze,,bekanuat gernaclit worden seyn",
daB wenn Zahlen in arithmetischer Progression durch eineu Multiplikator, oder wenn eine Zalil durch jede Zahi einer arithmetischeu
Progression multipliziert wird, die Prodnkte ebenfalls eine arithmetische Progression bilden. Dieser ohue Beweis angenommene Satz
birgt aber wichtige Voraussetzungen in sich.
') Saunderson, Aufi. Grtison, 1798, I, S. 113.