Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleiehungen.92

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einer Abhandlung von 1778 wieder auf die Frage der Ordnungserniedrigung, scheint aber die Resultate der Lagrangeschen Abliandlung, die er jedenfalls gelesen hatte, vollstiindig vergessen zu haben,
wenigstens Ihilt er sein Ergebnis ffir vollkommen neul; er formuliert 1)
folgendes Gesetz: Die Gleichung
p,- - qdz + rddz -V sd3, -- +td4Z +.. 02)
wird emn totales Differential mittels eines, Multiplikators Z, welcher
sich aus der,,konjugierten Gleichung"
PZ + QdZ + -d2Z +Sd3ZA- Td4Z +.0
bestirnmt, wo
P =p -dq +ddr - d3s + d4t -
Q =-q + 2dr - 3dds+ 4d~t
I? r- 3ds + 6ddt -*
S8 s-H 4dt -
fJ' t
Durch Aufldsung dieser Gleichungen nach _p, q, r,. findet
Euler, daB diese Grbi1en durch die P, Q, BR,... gerian in derselben
Weise ausgedriickt werden, wie letztere dureli jene; daraus schlielft
er, daB von den beiden Gleichungen fUr z bzw. Z eine die konjugierte
der anderen ist. Eulers DarstellUng bedeutet insofern einen Fortschritt gegeniiber Lagrange, als in ibr erst die volikommen gleiche
Bauart, die durchgehende Dualitiit zweier adjungierter Gleichungen
erkaunt und. durch eine iibersichtliche Bezeicbnungsweise (kleine und
grol~e Buebstaben) angedeutet ist; Lagrange hatte nur beobaclitet,
daB bei zweimaliger AnwendUng seines Verfahrens seliliefflich die ursprifingliche, aber unvollstiindige Gleichung resultiert.
Lagranges Hauptverdienst ist in der Aufstellung aligemeiner
Saitze fiber die Integrale der linearen Differentialgleichungen zu sehen,
m. a. W. in der SchaffUng einer Theorie dieser Integrale; die Form
des vollstiindigen Integrals als Summe von unabhkiigigen, mit willktirlichen Konstanten multiplizierten Partikulirintegralen, der Zusammenbhang zwischen vollstiindiger und unvollstiindiger Gleichung 3), inS_
besondere aber die Einsiebt, daB die Kenntnis von m Partikuliirintegralen (valeur particulie're) der letzteren efine Ordnungserniedrigung
1)Nova Aeta Academiae Petropolitanae, t. XIV, 1797/98 (1805), p. 58.
2)Die Poteunzen des D)ifferentials der unabhilngigen Ver~nderlichen sind hier
einafach weggelassen. 3) Ffir die Gleichung 2. Ordnung eingehend besproehen.