Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen.92

927

Integral einer Gleichung 2. Ordnung dieselbe Methode plus, durieuse
qu 'utile sei.)
in Verbindung mit der Methode der unendlichen Reihen imt die
Integratioin dureli bestimmte Integrale zu nDennen. Besonders
Euler hat sich mit dieser Aufgabe beschidfigt; und wie er in der
Theorie des Multiplikators die zu einem gegebenen integrierenden
Faktor geh~rige Differentialgleichung suclit, geht er audi hier von
einem gegebenen Integral aus und. fragt nach der miquivalenten Differentialgleichungy. Beziiglich der Integration der linearen Differentialgleichung 2. Ordnung Dach diesem Verfahren, per quadraturas eurvarum, wie er sich ausdriickt, bemerkt er selbst2), es sei dabei zu beachten, daB3 die Wahl jenes Integrals niclit vbl~lig von der Willkiir
des Rechners abb'ingt, sondern von vor-uherein die Anlage haben
muB, bei der Entwicklung der zugeh~irigen Differentialgleichuug auf
die 2. Ordnung zu ftihren; es stehe dahier nicht zu hoffen, auf diesem
Wege jemals, zu einer beliebig vorgegebenen Differentialgleichung zu
gelangen. Letzterer Aufgabe, eine gegrebene Differeutialgicichung
durhelinc bestimmtes Integral zu integrieren, sucbt Euler dadurcli
beizukommen, daB er das Integral zuerst in Form einer unendlichen
-Reihe entwickelt und diese nachtrdglieh in emn bestiinumtes Integral
verwandelt 3); das Integral der auf Seite 911 erw~hnten Differentialgleichung, erhiilt er auf diesem Weg in mehrfach verschiedener Form.
Dieselbe Methode wendet, wie wir sehen werden (vgl. S. 1006), Laplace auf die lineare partielle Differentialgleichung 2. Ordnung an;
er steilt das Integral als unendliche Reihe dar, die er in emn bestimmtes Integral nmformt.
Mit der Schulderung dieser iMethoden haben wir die Gesichtspunkte, welehe fuir totale wie partielle DifferentialgleichUngen in
gleicher Weise iu Betraclit konimen, ziemlich erschipft und wir
weuden uns zuniidehst ausschlielllich den totalen Differentialgleichungen zu. Hier ist es die lineare Glei chnug, d. h. die Gleichung, deren Koeffizienten Funktionen der unabbimugigen Variablen
allein siud, welehe das Hlauptinteresse der Mathematiker auf sich
gezogen hat, und ihrer Untersuchung ist eine gauze Reihe von Abhandlungen gewidmet. Auf diesem Gebiet hatten scion E ule r und.
d'Alemb ert viel. geleistet; sic hatten znniichst die unvollstiindige,
daun aber audi die vollstiindige Gleichung mit konstanten. Koeffizienten
') Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 101. Hier mag noch erwilhnt werden,
daB auch Euler gelegentlich aus partikuliiren Integralen die volistiiudigen
durch Variation der Konstanten herleitet; man vgl. einen Aufsatz vom. Jahre 1778
in Nova Acta Academiae Petropolitanae, t. XIII, 1795/96 (1802), p. 3 if.
2) Institutiones calculi integralis, vol. II, p. 308. 3) Ebenda, vol. II, p. 310 if.