Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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922 ~~~~~Abschnitt XXVIT.

Diese Gleichuing zerfdallt aber, da t variabel rind T konstant, in die
beiden folgeaden
6~p==-alTq rind Yq=alT._p.
Hieraus folgert Laplace
P'p=f.cosalT-h.sinalT uind 'q==f'.sina1lT+h.coscd1T.')
Spiiter2) kommt Laplace noch einamal auif das Problem der Entfernung der Potenzen von t zurfick. Er greht jetzt von der allgemeineren Gleichung
0- ~ +h2y~Ta
aus, wo Y eine ganze rationale Funktion von cc, y und den Sinus
und Kosinus von t sein soil. Emn Ansatz der Form
y Z + az';~ + a2Z11 + CC3Z"1 +
liefert, wenn man die Terme gleicher Ordnung in a allemal gleich
Null setzt, die Gleichungen
0 a~2 z 2Z+ji 0 == a7z+h2ZI
0 = ~l + h 2z"I + T" usw.,
wo, TV) eine Funktion von z, zI,.. 2(i - 1), sowie der Sinus und Cosinus von t ist. Treibt man die Ann~herrng his zur Ordnunog von a",
so hat man damit n -+ 1 Gleichungren, deren sukzessive Integration
aber im allgemeinen Kreisbogen in die Ldsung einftihfrt. Laplace
behiandelt nun zuniichst das spezielle Beispiel
Y ==my cos 2t
nach dieser Methode uind schliel~t aus der Form des Integrals, daB
im aligemeinen Fall die L~sung folgende Form besitzen. wird:
y ==-[p + At +Bt2+.-.] sinht +[q +_Mt +Nt.2 +.]cosht +B.
Hierbei sind A, B,... iii N;... ganze rationale Funktionen von P,
q und ac; _R ist eine ganze rationale Funktion von p, q, ac, t und verschiedenen Sinus rind Cosinus, worUnter jedoch sin ht und cos h t
sich nicht befinden. Laplace formt diesen Ausdruck so unn daB anl
1)Maclit man die Probe, so wird dca an Stelle von ac auftreten. Eine,
jener kleinen Ungenauigkeiten, wie sie in diesen fuir die Praxis geschriebenel'
Aufsiltzen hilufig zri finden sind. 2) ilistoire de I'Acade'mie des Sciences 1777
(1780), p. 373fif. Vg1. audi die ilistoire desselben Bandes, p. 56.