Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen.92

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taiusche, volistidndig neu und von groBer Fruclitbarkeit fur die Rechnung. Diese Worte beweisen, daB sich Lap lace der Neuheit, Eigenart und Wichtigkeit seiner Methode vollkommen bewul~t ist. Zur
Integration von
0 -= -H y I + ay2,
wo cc sehr klein und konstant ist, setzt Laplace ganz iihnlich wie
Lagrange zuerstCO
0 00 + Y -1
woraus
y -1 + p sin t + q cos t,
wo p und q zwei willikfrliche Konstante sind. Setzt man jetzt
y = 1 + p sin t+ q cos t+ az
in die ursprflingliche Differentialgleichung ein, wobei 1, p, q, a konstant sind und z eine Funktion von t ist, vernachliissigt bierbei a,,2
und cc und dividiert mit a weg, so ergibt sich
d + s+ l2 + p2 sin t2 - q2 cost' + 2lp sin t + 21q cost
+ 2_pq sin t cos t 0.
Diese Gleichurng liefert emn Integral
Z =- - — ltsnt+Ip qo 6 c os2t+-P-sin2t.
Bis hierher unterscheidet sich das Verfahren von dein Lagranges
inicht wesentlich; um die mit t behafteten Glieder unschuidlich zu
machen, wird folgender Gedankengarig benutzt: Substituiert man in
der urspriinglichen Differentialgleichung T7+ t1 an Stelle von t, so
wird sie in ilirer Form niclit geiindert. Man kann also das oben
abgeleitete Integiral durch emn anderes ersetzen, in weichem statt p
und q die Konstanten 'p und 'q, statt t die Variable iT + t1 auftreten.
Nun ist der Umstand von Bedeutungr daB ffir T7= 0 und ac == 0 die
G4leichUngen 'p =~ p Und 'q == q statthaben, woraus L a pla ce schlief~t,
daB 'p wnd _p bzw. 'q und q sich urn Gr6Ben von derselben Ordnung
wie a unterscbeiden. Er setzt demzufolge
f = p + 6p und 'q ~q + q.
Die beiden lintegralgleichungen fUr y liefern dann bei Yetrnachhissigung
aller Gr6Ben, die mit a2, aCC. gleiche Rangordiunug haben, durch
Subtraktion
0 == ['lp + alflq]. sin t + (cdq - alTp). cost.