Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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918 ~~~~~Abschnitt XXVII.

Anwendung der Taylorsehen Reihe liefert die gewiinschte Reihenentwicklung. So fibfrt die Gleichung
dy = dx(x~l -1 cy)
auf
y == b + co(az n c b) + 1 Gn2(ccb + call + nanl-i)
+ -~ co b ea1)nall2 +
wo b der zu x ~a, y der zu x ~a +co geh~5rige Wert von y ist.
Bei der Gleichurig 2. Ordnung
dP -r v)
dx
wo dy = pdx, und V eine Funktion von x, y, p ist, seien die Anfangswerte x = a, y == b, _p == c. Ftir das Intervall
x==a bis x==a+cw
ist
p = c+ VF(x -a)-/x -a)d V.
Die Gr8B1e d V ergibt sich aus der gegebenen Differentialgleicb ung zu
d V == Pdx + Qdy + B~dp = (P + Qp + B V7)dx.
Die Annalime, daB P + Qp + Bi V in dem Intervall a bis x konstant
ist, ftihrt auf
p == c + F(x - a)- 1 (P + Qc + -RF) (x - a)2,
wo F den Anfangswert von V bedeutet. Integration dieser Gleichung
liefert endlich
y ==b + c(x -a) + - F(x - a)2 (P + Qc-f- BE) (x -a)3.
Aus diesem Niiherungswert von y l10t sich sodann derjenige ejues
benaclbbarten y finden; auf diese Weise lIRBt sich allmaihlich das
Intervall zwischen dem gegebenen a und einern beliebig grof~en X
zurficklegen; auf das eventuelle Auftreten von Unstetigkeiten maclit
Euler aufmerksam.
Ein selir eigentiimliches Verfaliren wendet Lagrange an2): Die
partielle Differentialgleichung
') Institutiones calculi integralis, vol. II, p. 352. 2) Miscellanea Taurinensia, t. IIP, 1760/61, p. 118. Im Original ist aus Versehen in der ersteli
Gleichung die Gr51e c weggelassen.