Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleieliungen.91

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Auf die Entwicklung der iibrigen Nilherungsverfahren war die
theoretisehe Astronoinie Von groBem EinfluB. Da die Exzentrizitiiten
der Planetenabalinen, sowie ihre Neigungen meistens ziemlich klein
sind, nalim man seit d'AlI emi b e r t die Kreisbahn als gendherte L6sung
an') und suchte diese durch Korrektionen in der Weise zu verbessern,
daB man sehlieBlicli Reihien erhielt, welehe nach Potenzen dieser
-kleinen Gr6Ben fortseliritten. Die versehiedenein Methoden, deren
man sicli hierzu bediente, charakterisiert Condorcet 2), der sich selbst
sehr viel mit der Integration durch Reihen besch~iftigt hat 3): entweder setzt man,7 sagt er, die Unbekannte gleich einem angeniiherten
Wert vermelirt um emn Korrektionsglied, dessen 2., 3.,... Potenz man
vernachliissigt. Diesen Ausdruck substituiert man in die ursprtingliche 0Gleichung, integriert und bestimmt das Korrektionsglied angeniihert. Mit dem so verbesserten Wert der Unbekannten wiederholt
man das Verfaliren. Diese Methode ist vereinfaclit von d'Alembert
in den Turiner Memoiren und in semnen Opuscules, auch von Euler
in seiner preisgekrdnten Abhandlruig fiber die Mondbewegung von
1770 benutzt. Bei der zweiten Methode vernachliissigt man nicht
alle h6heren Potenzen des Korrektionsgliedes. ) Endlich geht C ondorcet auf die Methoden von Lagrange und d'Alembert des
uliheren emn. Von weicher Wichtigkeit diese Verfabren ftir die Praxis
sind, kann aus der groBen Zahi von diesbeztiglichen Abhiandlungen
entnommen werden.
Unter den speziellen M~herungsverfahren, die wir hier genauer
darlegen wollen, sei zuerst eine Methode von Euler zur Integration
totaler Differentialgleichungen genannt. Die Gleichung 1. Ordnung
denkt sich Euler5) auf die Formd y __ j
dxV
gebracht, wo V eine Funktion von x und y ist. Ffir die h6heren
Differentialquotienten ergibt sich leiclit
dd y (dV\ ~ vdV
d X~2 dx WYJ
(1'y ddV\ IdV\dV\d V\ dVT72 dd
'y~x2) + ~ )Yiy +2 V( )+ V(d-y) +vv( ) UsW.;
1)Nach einer Arbeit, die mir Herr Professor v on B ra unmii h I in liebenslvfirdigster Weise im Manuskript zur Verfflgung stelite. 2) ilistoire de I'Acade'mie
des Sciences 1771 (1774), p. 281. 2) Ygl. auch den bereits erwiihnten Aufsatz:
Ebencla 1769 (1772), p. 193; ferner 1770 (1773), p. 191. 4) Hierzu zitiert er
Lagrange, Miscellanea Taurinensia, t. III. Vgl. die drittnilchste Anmuerkung
uind d 'Al emb ert, Opuscules math6matiques, t. V. 2)Institutiones calculi
inategralis, Vol. I, p. 498. \Tgl. auch o, S. 734.
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