Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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916 ~~~~~Abschnitt XXVII.

gangen werden; wir verweisen deshaib auf den XXVI. Abschnitt
dieses Bandes.
Unter den Niiherungsverfahren, welohe nicht von vornherein
gleich die ganze Reihe bis auf gewisse erst zu bestimmende Koeffizienten in Form der T ayl o rschen Reihe event. mit veriinderlichen
Koeffizienten ansetzen, kdnnen wir zwei Gruppen unterseheiden, solehe,
weiche die gegebene Differentialgleichung oline weiteres in der gegebenen Form benutzen und lediglich dureli bestiindige Korrektion
das Integral zu linden suehen, und solehe, welche von vornherein
sich nicht der vollstiindigen Differentialgleichunag, sondern nur einer
geniiherten Form derselben bedienen, wobei natiirlich die Schiitzung
der erreicliten Genauigkeit viel schwieriger wird. Das letztgenannte
Verfahren wird besouders hiiufig in der Astronomie getibt; unter den
ersten stelit die Integration dureli Kettenbriiche wegen ihrer Eleganz
und Aligemeiniheit obeinan. Hierzu bemerkt Lagrange') in den
Berliner Memoiren fUr 1776, die Methode der Integration dureli unendliche Reihen habe den Nachteil, daB rationale endliche Ausdriicke
als solehe nicht erkannt werden; die Kettenbruchentwicklung habe
dagegen alle Vorteile der Reiheneutwicklung und sei von dem letzterwiihnten UGbelstand frei, da emn endlicher und rationaler Wert des
betr. Ausdrncks als Ketteubruch von selbst abbrechen wird. Sein
Verfaliren ist etwa folgendes: emn erster Niiherungswert von y fdr
sehr kleine x sei ~; setzt man jetzt
+ y'
in die gegebene iDifferentialgleiehung ein, so erhiilt man eine neue
Gleichung derselben Ordnung und desselben Grades zwischen x und y'.
In derselben Weise sucht man jetzt fUr sehr kleine x einen Niiherungswert ~' von y', und setzt
= 1+ y"*,
Die GrbiBeni~ ' " miissen von der Form axe, seiin, und zwar mul3
ac (aul~er ffir die Grd~e selbst) immer positiv sein. Die fortgesetzte Anwendung dieses Verfahreiis liefert den gewiinschten Ketteubruch; die
Bestimmung von a und ac bietet hierbei die einzige Schwierigkeit.
Mittels dieser Methode erhiilt Lagrange bei Differentialgleichungen,
die dureli bekannte Transzendenten integrabel sind, die Ketteubruchentwicklungr von Funktionen wie log, tg, arctg, die tibrigens scion
Euler gegeben hatte (vgl. S. 270).

') Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 301.