Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentilagleicliungen.91

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ktirlicben Funktionen, die ja keiener als die Ordnung der Differentialglei chung seiin kann, haben wir nicht gefunden. So behandelt Euler')
die Gleicbung
(x + y)2 d ( + y) z+ rn(x + y) d~~ ~ nz= 0;
er setzt das Integral in der Form
'Z A (x + y)2f'(x) + B(x + y) +'If '(x) + C (X + y) +2f"11(X) +*
an und driickt die Koeffizienten B, C, D,... durcb A aus. Die
Rekursionsformein bierftir, die quadratische Gleichung
n + 2m2A + AA - A = 0
mit eingeschiossen, nerint er determinationes. Bei Vertauschunig
von x mit y mul3 man wieder emn Integral haben; daraus ergibt sich
z = A (x + q (f(x) + Fry)) + B (x + y)2 +'(I(x+ F'(y)) ~
Iii die Gleichung fuir A setzt Euler
und erbdlit so
n = (rn +i) (m -i-)
durch passende Wahl von i briclit dann die Reihe von selbst ab.
Im Anschlul3 daran. behandelt Euler die Frage, wann. sich die
Gleichung
(d)2 Q(~ + -I + s(-) + Tz = 0
auf die eben integrierte Gleichung zuriickfifihren lMit, und gewinnt so
viele Faiille integrabler GleichUngen.
flier sei eine Aufgabe von Condorcet angefiigt, der zuir Lbsung
der Gleichung dz az 1 + x _
a' y x l+y
die unendliche Reihe
__x+Y)+Q a2Fy(x -1 y
z== E(x + y) + P -a~x l + a X2
an setZt 2), wo P, Q,.. Funktionen von x und y sind. Dureli Substitution in die gegebene Gleichung und Nullsetzen der Koeffizienten
1) Institutiones calculi integralis, vol. III, p. 262 ff. 2) Histoire de l'Acad6maie des Sciences 1772 (1775), p. 40.