Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Absebnitt XXV11

l21du d2 u
(2.<+ + dr + 0
die mit der bekannten B es selI schen Differentialgleichung identisch
ist. Euler entwickelt in eine unendliche Reihe. Eine andere nicht
-uninteressante Reihe-nentwicklung fUr die Gleichung
d2il1i m dl J1M
dx x dX
findet sich bei Lagrange.') FUr m == 0 hat man das Integral
M=~ A sin xj/- k,
ffir m == 2 aber
I= A sinxj/-k - Ax d sin xq3-k
dx
daraus lBt, sich,7 sagt L a g ra nge, fair n == 4, 6,..auf die Form
X== siny-k Bxd sin x /-l k+ OX2 d2 Sin X-T/ k
it! ===AsinxY-+Bx d x dx 2
schliel~en, wo A, B, C,.. Funktionen von x sind. Durch Substitution in die gegebene Differentialgleichung ergibt sich eine Folgre von
Differentialgleichungen zur Bestimmung von A, B, C,.... Lagrange
findet
A f + hxfl4+; B X-h,,2
C f2 ( )x2 + h2 m+3
12.3 (m - 1)(m - 2) 2.3 (m +3)Im + 4) uw.
wo f und h Integrationskonstanten sind, und bemerkt hierzu: ist ni
eine positive gerade Zahi ~ 2, so bricht die Reihe der mit f multiplizierten Terme ab, ist m negativ und gerade < - 4, so ist die Anzalil der in h multiplizierten Terme eine endliche; man erhiilt daun
Integrale in endlicher Form, indem man h bzw. f gleich Null setzt;
fUr m == 0 und m - 2 wird die Formel unbrauchbar; Lagrange
macht dann hinsiclitlich der Brauclibarkeit dieser Eutwicklung eine
Reihe von Bemerkungen; insbesondere spricht er von einer Unannehlinilclkeit,7 die alien allgeeineiue Iiitegrationsformelu anhafte, daB
sie nilmlich in gewissen Piillen, die dann eine Sonderuntersuchung
erfordern, ungiltig werden. Auch auf dem Gebiet der partiellen Differentialgleichungen hat die Entwicklung nach unendlichen Reihen oft
Dienste geleistet; Angaben Uiber die Zahl der dabei auftretenden will

1) Miscellanea Taurinensia, t. 1I2, 1760/61, p. 81 ff. Vgl. auch S. 930 diefse&
Bandes.