Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichunoen.91

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gesuchten Reihen direkt oder erst durch sukzessive Anniiherung bestimmte. Entwicklungy nach Potenzreihen mittels der Methode der
unbestimmten Koeffizienten treffen wir in E ul1e rs Integralrechnung;
besonders die Differentialgleichung 2. Ordnung ist dort eingehend behandelt.') Wie gew6hulich ist von einfacheren Beispielen zu soichen
schwierigerer Art tibergegangen. So behandelt Euler 2) z. B. die Gleichung
ddy + aXnydX2=- 0.
Er setzt eine Reiheneuntwicklung mit steigenden Exponlenten an:
y = — Ax~,+ Bx~+nl+2+ Cx;~~2n+4~j +..
und erh'ilt dureli Einsetzen in die gegebene Differentialgleichung zuniiebst die Bedingung
~I- 1) ==0.
Daraus folgt =0 oder I 1 weshaib Euler die neue Reihe ansetzt:
y == A + BXn+2+ CX2n44+.
+ 9WX + OXn + 3 EXn5
Die B, C,.. und Q3, G2$ drficken sich daun leicht dureli die
beiden Integrationskonstanten A und W aus. Emn Ansatz mit abnehmenden Exponenten ffiihrt, wie er sagt, zu keinem. Ergebnis. Im
folgeiiden integriert er dureli Reihen die Gleichungr
xx(a + bxI) ddy + x(c -j- exn) dx dy + (f + gXnI)ydxj2-= 0,
und Spezialf ilfle davon, weil gerade bei ihr die Rekursiousformelin
Li~r die Koeffizienten der Reihenentwicklung ganz besonders einfaceh
werden; es drtickt sich niimlich jeder Koeffizient dureli den unmittelbar vorhergehenden aus. Diese Bemerkung veranlaBt Euler zur Behandlung des Problems"3, alle linearen Differentialgleichungen 2. Ordnung von der Eigeuschaft aufzusuehen, daB in den zugehuirigen
Reihienentwicklungen jeder Koeffizient sich durch die zwei unmittelbar vorhergehenden Koeffizienten ausdriickt. Hier sei auch noch auf
das Auftreten der Zylinderfunktionen bei Euler hingewiesen; das
Problem der Schwingungen euler Membran fllhirt ihn niimlich4) auf
die Differentialgleichung
1782 (1785), p. 5 bzw. p. 31 if. die Aufgabe, Reihenentwicklungen fuCr gewisse
Jutegrale zu finden, die durch starke Konvergenz fUr die Praxis brauchbar Sind.
Vgl. o. S. 7 35.
1) Institutiones calculi integralis, vol. II. p. 182fif. 2)Reihen mit unbestimmten Koeffizienten auch in Novi Commentarii Academiae Petropolitanae,
t. XVII, 1772 (1773), p. 129, und Institutio-nes calculi integralis, vol. II, Sect. I,
cap. VII, VIII, IX. 2) Ebenda, (Inst. cale. int.), p. 252. 4) Novi Commentarii
Acaderniae Petropolitanae, t. X, 1764 (1766), p. 24-3.