Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Algebra.

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iDiese Entgegensetzung ist zwiefach; entweder logisch dureli den
Widerspruch, odler real, d. i. ohne Widerspruch.1,,Es sind die
inegativen Grilken nicht Negationen von GrdlBen, wie die Ahnlichkeit
les Ausdrucks ihn hat vermuten lassen, sondern etwas an sich selbst
wahrhaftig Positives, nur was dem andern entgegengesetzt ist."1 Seine
Exposition der Zeichen + und - ist nicht so gewandt.,,Da die
Subtraction ein Auflieben ist, weiches geschieht, wenn entgegengesetzte Grdlen zusammengenommen werden, so ist kiar, daB3 das -
eigentlich nicht emn Zeichen der Subtraction sein k~nne, wie es gemneiniglich vorgestelit wird, sondern das + und - zusammen nur zu-,erst eine Abziehung bezeichnen. Daher - 4 - 5 =- - 9 gar keine
Subtraction war, sondern eine wirkliche Vermehrung und Zusammenthuung von Gr~len einerlei Art. Aber ~ 9 - 5 = 4 bedeutet eine
Abziehung, indem, die Zeichen der Entgegensetzung andeuten, daB
die eine in der anderen, soviel ihr gleich ist, aufhebe."
Urn den Gedankengang in Lehrbtichern in gr6Berer Ktirze darstellen zu. k~nneii, werden wir die Erklirungen in E ule rs V oilstidndige Anleitung zur Algebra (1770) vorfillren und sie kurz
mit denen anderer Autoren vergleichen. Das Werk ist in populirem
Stile geselirieben. Was logische Entwicklung von Grundprinzipien
anbelangt, kann es aber unehreren anderen Werken dieser Zeit nicht
vorgestelit werden. Der Rulim dieses Lelirbuches scheiiit un11 eher
dein zweiten Teile, fiber die unbestimmte Analysis, als demn ersten
Teile zuzuschreiben zn sein.
In Art. 8 sagt Euler:,Wann zu einer Zahl eine andere hinzugesetzt oder addiert werden soil, so wird solehes dureli das Zeichen +
angedeutet, welehes der Zahl vorgesetzt und plI u s ausgesprochen wird".
Art. 1 1:,, Wainn hingegen von einer Zabi eine andere weggenominena
werden soll, oder subtrahirt wird, so wird solches dnrch das Zeichen -
minus angedeutet, weiches soviel. als weniger ist, und derselben
Zahll weiche weggenommen wird, vorgesetzt wird". Nach dieser Emnfillrung von + und -- als Operationszeichen liest man folgen3des in
Artikel 16:,,Hier kommt also die ilauptsache darauf an, was fUr emn
Zeichen eine jegliche Zahl vor sich stehen hat; daher pfiegt inan in,
der Algebra die Zahlen. mit ihren vorstehenden Zeichen als einzelne
GrbiBen zu betracliten, und diejenigen, weiche das Zeichen -F vor sich
haben, bejahende oder positive GrSjBen zu. nennen, diejenigen aber, welche
das Zeichen - vor sich haben, werden verneinende oder negative
Griien genennet". Sind nach dieser Erkliirung die Zeichen + und
- noch immer ilberall als Operationszeichen zu betrachten? Hat
man in den gewdhnlichen Rechenbllchern niclit auch -negative Zalilen
an Stellen, wo das Zeichen - benutzt wird? Kann eine negative Zahli
CANTOR, Geschichte der Mathematik IV. 6