Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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908 ~~~~~Abschnitt XXVII.

Wir haben diese Fragen im AnsehiuB an die Theorie des integrierenden Faktors gebraclit; in dieser Hinsiclit ist noch einiges zn,
sagen. Schon Condoreet beschiiftigt sich mit dem Zusammenhang
zwischen Integral und Multiplikator'). Euler zeigt 2), daB jeder
Multiplikator M von Pdx + Qdy =- 0 emn partikullires Integral M == (
liefert, sofern nicht einer der Koeffizienten P oder Q dadureli unendlich wird; analoges gilt von einem integrierenden Divisor. An anderer
Stelle hat er den leiclit beweisbaren Satz 3): Ist L eim Multiplikator
von Pclx -F Qdy, so ist auch L. - i (Z) ein solcher, wo 0P eine willkiirliche Funktion bedeutet, mud Z sich aus dZ = L (Pdx + Qdy)
bestimmt. Dieser Satz ist nur eine andere Form des bekannteren,
daB der Quotient zweier Multiplikatorena, einer Konstanten gleiehgresetzt,
das vollstdindige Jutegral der Differentialgleiehung gibt. Der Zusammenhang zwischen Partikulkiint-egral nud Multiplikator hat ftir Tremble y
groBen Reiz;, seine Absicht ist, aus einem bekanuten partikuliiren oder
siuguliiren Integral eineu Multiplikator herzuleiten und mit diesem
das vollst'aindige Integral zu ermitteln. Er braucht also vor altem
eim Integral, das er sich mit Hilfe unbestimmter Koeffizienten folgeuderma~en zu versehaffen sucht.4) Ist die gegebene Differentialgehugdx y = 0, so bildet, er zundichst den Ausdruck
dU_ dU\1dU\ dy ldU u dU'p
dx kdx m dyI dx - dx! -
In diesem Ausdruck, der eine Summe von Funktiouen von x und y
sein wird, ersetzt er die Koeffizienten der einzelnen Summauden (lurch
Buchstabeu, die er so zu bestimmen sucht, daB der gauze Ausdruck,
gleich Null gesetzt, die gegebene Differentialgleichung er-fillit. 1st
z. B.
d y ay3 __ by2
gegeben, so ist
U ~ay8 b by
C cx
daun findet man
bis auf die Koeffizienten gleich
') Miscellanea Taurinensia, t. IV 2, 1766/69, p. 7ff. Nach Lagrange auch
Dui Calcul, integral, p. 67. 2) Institutiones calculi integralis, vol. I, p. 414
bzw. 416. 81) Ebenda, vol. I, p. 329. Vgl. diese Vorl., Mfl', S. 883. Eiue Verallgemeinerung des im Text erwiihnten Satzes bei Con donrcet: Miscellanea Taurinensia, t. IV2, 1766/69, P. 14. 4) Nouveaux Me~moires de l'Acade'mie de Berlin
1792/93 (1798), p. 341-416. Diesemn Aufsatz geht ein Artikel dhnliclien Inhalts
in den Turiner Memoiren funr 1790 voran. ') Man vergleiche die Bedingungsgleichungen von Lagrange finrdas Auftreten eines singularen Integrals S. 893 oben.