Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen. 95

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Frage nach der Integrabilit~it von Ausdriicken mit 2 Yariabein; er
kommt auf ziemlich mintiisamen Wegen zu derselben Gleichung').
Am ei-ngehendsten hat sich Lexell mit dieser Frage beseh~iftigt. Znnachst verlangt er2) omnen von den Priuzipien der Variationsrechnung
freien, reinl analytischen Beweis des Eulersehen Kriteriums. Sei also
V7 eine Funktion von x, y, p, q, r,... und
dy =pdx; dp:=qdx; dq ==r dx;...; dt ~udx,
und sei weiterhin
dV= Mdx -p Ndy + Pdp + Qdq +. + UdIu.
Nun kann man, sagt Le xel11, jedenufalls setzon:
Vdx ttdx + wy-f-zdp +..+ dt
und demzufolge
V= —it+,VP+ q -F- +Tnu;
hieraus gewinnt man
dV~ dp +pdv +qdzvA-.+ udr
+ v'dp ~ xdq -F + Tdu.
\Tergleieht man diese Form mit der ursprfinglichon, so ergeben
sich die Gleichungen:
Beialln Dffeontatino sid dae x, yp..u i+oltini
ldp\~ ~~~~d p p
cl~und Tihuliehe Ausdrticko Null zu setzen sind. Soil jetzt Vdx emn
exaktes Differential sein, so miissen Gleichungren bestehen, wie
1)Condorcet, Du calcul integral. Paris 1765. An Stelle dieses Werkes,
das mir leider nicht zur VTerfiigung stand, benutzte ich die eingehende zeitgenmissische Besprechung durch Pie tro F erroni in den Meniorie di Mat. e Fis.
Soc. it., tomo V, 1790, p. 130 if. 2) Novi Commentarii Academiae Petropolitanae, t. XV, 1770 (1771), p. 128.