Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXVIL

hbherer Ordnung wird emn Jntegrabilit~itskriterium von ho5ehster
Wichtigkeit, das E uIe r bei seinen Untersuchungen fiber die Variationsrechnung nebenbei gefunden hat. Er fragt nach der Bedingung daftir,
daB fZdx emn Maximum oder Minimum werde und findet, wie schon
frillier 1), daffir die Gleichung
VdP +dlL
0 -dx +dx +2
wo
dZ,== Mdx~+Ndy +Pdp + Qdq +
und
dy. d p
p (XI q d
Am SchiuB der betreffenden Abliandlung endlich erwiihnt er 2) ganz
kurz und ohine Beweis, daB die identisehe Erfililung jener Maximalbedingung die Integrabilitiit von Zdx zur Folge habe. Diese
Bemerkung blieb anseheinend unbeachitet; wenigstens knilpft Lexell,
der sich eingehend mit diesem Kriterium besch~iftigt hat (vgl. unten),
erst an E ulers Integralrechnung an, deren 3. Band in einem Anhang
U-ber Variationsrechnung den genaunten Satz wieder enth~iit. Man
beachite, daB Euler nicht von vornherein nach einem Integrabilitiiskriterium ffir Zdx, wo Z Differentialquotienten beliebig holier Ordnung enthiilt, gesucht bat; vielmehr ist er von ganz anderen Problemen ans zu jener Gleichung gelangt, nach deren tieferer Bedeutung
er sich nachtriiglich gefragt hat. Euler verwendet semnen Satz zur
Auffindung integrabler Z'dx. So geht er einmal3) von dem Ansdruck
(Xax ~ y.~y) (ayadex - adx~Xy)
(dX2 + dy2)2
aus, der emn lntpgral
J/(dX2 + d'_2)
besitzt und fragt nach alinliehen integrablen Fdhen. Er gibt dabei
dem ZU integrierenden Ausdruck von vornherein schon eine bestimmte
Form und suclit die darin unbestimmt gelassenen Funktionen so zu
bestimmen, daB sie die Integrabilitiitsbedingung erftillen, ganz iihnlich
wie er frtlher Differentialgleicbunagen suclite, die einen Multiplikator
von gegebener Form zulassen.
Unabhuingig von Euler besch~iftigte sich Condorcet mit der
1) Vgl. diese Vorl., II112, S. 8 63. 2) iNovi Commentarii Academiac Petropolitanae, t. X, 1764 (1766), p. 134. ')Nova Acta Academiae Petropolitanae,
t. XI, 1793 (1798), p. 3. Zu diesem A-ufsatz steht ein anderer Artikel von Euler
aus dem Jalire 1777 in Beziehung: Ebenda, t. IX, 1791 (1795), p. 81 ff.