Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleiehungen.90Ayx __

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ddy + (B- C —+ Ad2DxEx 0
einen Multiplikator der Form
2 Pdy + 2 Qydx,
wo P und Q Funktionen von x sein sollen, und zwar verlangt er
das Integral in der Form
Pdy2 + 2 Qydxdy + Vdx ==Const. dX2,
wo V eine Funktion von x und y seiD soil. Durch Anwendung der
Integrabilitiitsbedilngungen erhdiit er schlijeflich den Multiplikator
2dy(G+ 2Dx + Exx) - 2ydx(D + Ex).
Besondere Eleganz und U~bersiclitliclikeit ist bei dieser Rechnung
allerdings niclit zu finden; Euler benutzt die Formel, urn aus ihr
Spezialfaflie abzuleiten. Fur die Gleichung
yyddy + yd y2 + AxdX2 == 0
wird, wie Euler sagt'), vergeblich der Versuch mit einem Multiplikator der Form
Ldy + Mldx
gemacht; m6ge also, fiihrt er fort, der Versuch mit der Form
3Ld y2 + 2Mdxdy + NdX2
und dem Integral
Lyydy-3 + Myydxd y2 + NVyydX2 dy + Vdx3 = — Cdx8
gemacht werden. Es ergibt sich
L==y, ]L=0, N=-3Ax
Mit
- Ay' ~ AAx3
als eine branclibare Lisung. Die folgende Behandlung dieses Beispil wobei von der Substitution ydy zGbac geah wid
pies, ~~~~ ~~~~d x eruhgmctwr
ist niclit uninteressant. Ubrigens sind wir auf diese Beispiele nur
eingegangen, weil sie zeigen, weicher Art die Differentialgleichuingen
sind, an die sich Enu1e r wagt. DaB er scion frtiher einfachere Beispiele behandelt hat 2), wird niemand wundern.
FUr die Theorie der Multiplikatoren von Differentialgleichungen
')Institutiones calculi integralis, vol. II, p. 162. 2)Novi Commentarii
Academiae Petropolitanae, t. VII, 1768/59 (1761), p. 163fif.