Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen.90

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nicht explizite enthiilt'), die Verwandlung von Differentialgleichungen
h~herer Ordnung in ein Simultansystem von Gleichungen 1. Ordnung. So fifihrt z. B. Euler') die Gleichung beliebiger Ordnunug
dureli die Substitutionen
dy = pdx; dp = —qdx;
in ein System linearer GleichUngen 1. Ordnung iiber, ohne gerade besonderen Naclidruck auf die Bedeutung dieses Schrittes zu legen.
flier sei noch folgende originelle Methode von Lagrange ffir
eine spezielle Gleichung erwqhnt3~): 1St
0==fonct.( p, qx, rx,..)
wo
dy dp. dq.
so ergibt sich mittels der Substitutionen
Y = u und dx = du
x
der Reihe nach:
(t.d d (u + t)
P =- a + qx==t -d(u +t) r2 du& 7
p~u-1 —t, qx~ d~, r d u
Setzt mnan diese Ausdriicke in die urspriingliche Gleichung emn, so
ist die Ordnung urn 1 Grad erniedrigt.
Im Anschlul3 an die Verwertung der Transformationen fiberhaupt,
sei noch auf das Auftreten von Bertihfrungstransformationen bei
Monge hingewiesen (vgl. S. 980ff).
Wie sch6n erwiihnt hat Euler die Anwendung von Multiplikat oren zwecks Ordununserniedrigung der Integration dureli Substittiou vorgezogen und sich deshalb eingehend mit der Theorie
der Multiplikatoren als der,wahren und naftfrlichen Quelle aller
fiategrationen" ) beschliftigt. Er gelit dabei auf zwei giinzlich ver1) Die Reduktion gelingt, wenn man den 1. Differentialquotienten der abhangigen Veranderlichen als nene Variable einfiihrt; x und y ergeben sich
dann als Funktionen dieser Variablen in Parameterdarstellung. Sielie Jnstitutiones calculi integralis, vol. II, p. 40. 2) Ebenda, vol. II, p. 373. Diese Reduktion, nach einer giltigen Mitteilung von Herrn Prof. v. Braun milil schon
bei d'Alembert, Histoire de l'Acad'mnie de Berlin,7 t. IV, 1748 (1760), p. 289.
8) Miscellanea Taurinensia, t. JIV2, P. 342. 4) Institutiones calculi integralis,
vol. I, p. 314.
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