Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

900

900 ~~~~~Abschnitt XXVII.

dere, allgemeinere Methode. Er weist ferner') auf die Unm~iglichkeit
hin, bestimmte Prinzipien fUr die Auffindung von Substitutionen,7 die
auf integrahie Gleichunagen fllliren, anzugeben, sowie auf das Versagen
der Separationsmethode bei Differentialglielchungen h~iherer Ordnung,.
Die Auffindung von Substitutionen, welehe Trennung der Variabein
erm~iglicben, erfordert, wie er sagit2), nicht weniger Scharfsinn als die
Integration selbst.
Weun auci im, allgemieinen bei eiuer beliebig gegebenen Differentialgleichung jene Trns form at ion en, welehe eine Integration, sei
es dureli vorgeschriebene Transzendenten, erm.6glichben, nicht angegeben
werden k6rnuen, weil die Angabe dieser Transformationen mit der Integration der GAleichung selbst identisch ware, so sind es doch Transformationsverfahren, weiche, selbst wenn sie nicht auf integrable
Typen fifihrten, immer noeb die theoretiseli bedeutendsten Resultate
zeitigten. Viele Methoden der Ordnunagserniedrigrung, die E ulersche
und die Laplac esehe Theorie der partiellen Differenatilagleichuingen
2. Ordinung, die Theorie der Eulerseben homogenen partiellen Differentialgleichuing, in gewissem, Sinne audi die Methode der Variation der
Konstanten beruhen auf soichen Verfabren. Schliefflich dflrfen Transformati onen hdherer ()rdnung nicht unerwibhnt bleiben, weiche auch
Differenatialquotienten eiithalten; es sei nur an die d 'Alemb ertsche
Gleichu-ng 3) erinnert.
Die eben erwahnte Methode der Ordnungserniedrigung ist
im Griinde genommen die vorbildliche kia ssische Integrationsm eth ode fUr alle Differentialgleichungen hbherer Ordunuag und beliebigen Grades. Man hat entweder mit Hilfe von passenden Substitutionen oder mit Benutzung eines Multiplikators em erstes Integral
zn finden, das dann ebenso weiter behandelt wird. Dieser ailgemeine
Gedankengang liegt den mneisten speziellen Integrationsmethoden zugrunde, und besonders Euler hat versucht ihn brauchbar zu machen;
freilich ist seine Durcbftihrung in der Praxis im. aligemeinen nicht
mdglich. Aber man hat in Verfolg-ung dieser Idee wenigstens eine
Reihe von aligemeinen Gleichungstypen gefu-nden, auf die sie mit
Erfoig angewendet werden kann. Auf Ordnungserniedrigung durch
Substitution beruhen die Theorie gewisser zuerst von Mo ng e behandelter partieller Gleichungen beliebiger Ordnung (vgl. S. 1019), die
Theorie des Zusammenhangs zwischen homogener linearer Gleichung
2. Ordnung und Ric cati scher Gleichung, die Reduktion der totalen
Differentialgleichung 2. Ordnung, weiche die unabhangige Variable
') Institutiones calculi integralis, vol. I, p. 2 90. 2) Ebenda, vol. III, p. &OQ.
W)Vg. diese Vorl., 1112, S. 897.