Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

898

Abschnitt XXV11.

dd: ddz (dz d zr 7~ d c
dx2 dxdy' dy' d x dy' ~
so miissen im. Falle eines singul'airen Integrals aul~er der gegebenen
Gleichung noch drei Itelationen bestehen, die man dareli Nullsetzen der
Koeffizienten vonI
(Idd- ddz ddz
dx2' dxdy'I dy2
erhalt.
Wir sahen im vorhergehenden -bei der Konstruktion willkfirlieher Funktionen unter gegebenen Anfangsbedingungen durch Mong e
sowie bei der Theorie der singuliiren Integrale - wiederholt ge oni e tr i s e h e Vo rs t ell u n gen zur Auf hellung der Theorie herangezogen.
Man muBl sich aber hUten, den Einflul3 soicher llilfsmittel auf die
Entwicklung dieser Theorie zu iiberschuitzen, zumnal es sich urn eine
vorwiegend analytisehe Epoche der Mathematikgeschichte handelt.
Mong e kommt riickw~irts von geometrischen Pro bleinen aus zu seinen
Differentialgrleichungen und ge winnt durch fJbersetzunug erprobter Verfaliren und Uberlegungen geometriseher Natur in die Sprache der
Analysis viele seiner rechnerischen Methoden; aber es ist ibm nicht
umgekehrt darum zu tun, eine eigentliche geometrische Theorie der
Differentialgleichungen und ihrer Integrrale zu entwickeln, d. Ib. eine
Theorie, welehe in konsequenter Weise analytische Operationen durch
geometrische Konstruktionen ersetzt. Und wenn es auch manchinal
den Ansehein hat, daB er Differentialgleichungen dureli geometrisebe
T~berlegungen l1ist, so dad' man doch sicher sein, daB er in allen
diesen Faillen das Resultat schon vorher besessen und die betreffende
Differentialgleichung erst nachtriiglich aufgestellt hat. Es linden sich
demgeniUBl bei Monge Stellen genug,, weiche die geometrisehe Bedeutung gewisser Gleichungen anschaulich und klar machen, und die,
zusanimengetragen, eine geornetrische Theorie der Differentialgeichungen fiefern wtirden, aber Mo n g e scheint selbst niclit an eine
solehe Zusaminenstellung zu denken. Die bedeutendsten Uberlegungen
dieser Art vor demn Erseheinen der,,Application de l'analyse 'a la
geloretrie" sind auf S. 561 if. und S. 1037 ff. dargestellt. Schwierigere
Problerne dieser Art, wie wir sie lieutzutage behandeln, so die Frage
nach der Gestalt der durch eine Differentialgleichung definierten
K-urven, oder die Untersuchung einzelner Punkte und ihrer Umgebuflg
werden naturgem:(i fiberhaupt gar nicht aufgeworfen.
Wir wenden uns im folgenden zu den ailgeumeinen Methoden,
welcho dcxx Charakter des jeweiligen Problems angepaBt in veranderter
Formn auf die versehiedensten Gattungen von Differentialgleichungen
Anwendung linden. Dabei ist auch einiger Versuche zu gedenkeil,
cinen nnbedingt gangbaren Weg zu finden, auf dem sich alle Diile