Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXV11.

und setze die Koeftizienten 211, N,1', 9, B filr sich gleich Null. So
erh'alt man fiinf Gleichungen, die mit der gegebenen Differentialgieichung zusammen bestehen miissen. Dureh Elimination der drei partiellen Differentialquotienten 2. Ordnung erhiilt man simultane Gleiehungen in x, y, od und dy'; ein gemeinschaftlicher Faktor derselben ist als singuliires Integral aufznfassen; der Spezialfall Q9= 0,
BR - 0 ist wie bei der Gleichung 1. Ordnuing von besonderemn Interesse.
Lagrange charakterisiert den Untersehied zwischen semnen und
den Arbeiten seiner Vorgiinger mit den Worten'):,,Ich habe znerst
die wahren Priuzipien dieser Theorie gegeben. Man hat Regein mehr
oder weniger aligemeiner Art aufgefnnden, emn gegebenes Integral von
vornherein als singuliires oder partikuliires zu erkennen, auch ffir die
Auffindung der singuliren Integrale sind Regein entdeekt, worden.
Aber niemand hat meines Wissens den Ursprnng dieser Integrale entwickelt." Das berechtigte Selbstbewuftsein, den freudigen Stolz dieser
Worte wird wohi jeder nachfifihlen, der Gelegenheit hat, den Entwieklungsgaiig der Theorie ans den Originalarbeiten selbst kennen zn
lernen.
Legendre kommt zu seinen Resultaten dureli Benutzung des
Prinzips, daB das singuliire Integral immer weniger willkiirliehe Konstanten enthii'lt als das vollstiindige; er steilt diese Eigenschaft als
Fundamentalsatz an die Spitze seiner Abbandlung. Von diesem. Theorem aus gelangt er folgendermaBen zur Bestimmung der singuliiren
Integrale aus der Differentialgicichung 2): sei emn Wert von y, weleher
der Gleichung geniigt, bekanut, emn benachbarter Wert y + 6y gesucht. Zn. diesem Zweck variiere man, sagrt Legendre, in der gegebenen Gleichung von der Ordnaung n bei konstantem. x die Grb13et
dy ddy und man wird wegen der Relationen
'x dX2 C
6dy ==day, 6Yddy -= dd~y us8w.
eine lineare Gleichuing der Fonrin
(1" CT y dH_1y
A 'X;+ B d - 1Y+ +. 7'j()=
erhalten, die als Differentialgleichung f~ir dy aufgefaBt werden kaun.n
Nun I'aiBt sich aber die Form dieser Gr6lBe 6y aus der Integralgleichung erschlieBen; differentfiert man diese niimlich, indem man die
')Oeuvres de Lagrange, t. IV', p. 585. 2) Histoire de 1'Acad~mie (l18
Sciences 1790 (1797), p. 222.