Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

894

894 ~~~~~~Absehnit~t XXVII.

Jr(x,,z a, b) 4)
gehbrige partielle Differentialgleiehung / () entstehit n~inifih durch
Elimination vonl a und b aus den Gleichungren
dz d1
d x ~~~~~(I y
wo p und q Funktionen von x, y, -, a und b sind. I)as Resultat
dieser Elimination wird. dasselbe sein, ob a und b konstant sind oder
-nielit, wenn 11111 die drei Gleichungen, aus denen a und b eliminiert
werden sollen, dieselben sind. Dazu. ist aber im Fall variabler a
nnd h) das Bestehen der Gleichung rda + sdb = 0 notwendig, wie
sich aus dz~ = pdlx + qdy A- rda + sdb ergibt. Die einfaehste Manier,
dieser Gleichung Genflge zu leisten, sagt Lagran ge, besteht darin,
daiS man getrennt r = C und s C) setzt. Wiihrend Lagrange soeben r und s fuir sich gleich Null setzte, leistet er der Gleichung
rda + sdb == 0 im folgenden aligemeiner dadurcb Genilgye, daiS er die
Existenz einer Relation zwisehen a und b annimrnt und demzufolge
b =- p (a) setzt. So wird er, von der Theorie der singulilren Integrale
ausgehend, wieder zurn allgemeinen Integral gefflhrt. Urn das singuEire Integral aus der Differentialgleichuug selbst zu ermitteh1, gibt
Lagrange1-) folgende Regel: lDifferentiiert man die Gleichung Z ==0,
so erhilit man
JIMldx+Nd ~+Pdx-F Ldy ==0,
dx dy ~ ~ d d
wo ]J, N, P, L ganze Funktioneii von x,, z dz d sind, denii
d1z kann verrn~ge der Relation
(Z ===- -'dx + dy
(I. dd)
immer eliminiert werdeni. Man setze jetzt ]Y4 N, P, L jedes fuir sielh
gleich Null, was mnit Z = C) nach Elimination von - und dzdrei
Gleichungen in x, y, z gibt, die gleichzeitig statthaben miissen Besitzen sie einen oremeinschaftlichen Faktor, so ist dieser als das gesuichte singuliire Integral auzuseheni. Reduziert sich dZ auf
lidd + Bd dZ 0
so hat man nur die drei GleichUngen Z, 0, A C)0, B C), O die
immer ein siinguliires Integral liefern. Durch Besprechung diese'S
Falles kommt er Zn der Einsicht, daiS dann das vollstdindige Integral

1) Oeuvres de Lagrange, t. IV, p). 71.