Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen.89

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(Ly d_ B +C o
dX2 -A 0
werden, und diese Gleichung wird umgekehrt als Bedingung far das
Auftreten eines singuhiiren Integrals hingesteilt. Sie liefert zwei Gleichuingen, die mit Z == 0 simultan bestehen mtissen.
Nach der geometrischeii Deutung des singultren Integrals als
Enveloppe wendet sich Lagranage zu den totalen Differentialgliechungen 2. Ordnung. Lautet die Integralgleicliung wieder V = 0, wo
V eine Funktion von x, y und den Integrationskonstanten a und b
ist, so fal~t Lagrange die Grbile b zun~chst als willkitrliche Funktion.
von a auf. Die Bedingungen far das Vorhandensein eines singullireti
Integrals dy 0 d d2 0 verwandein sich dann in
da dxda
1. (I/ d yd b und 2+ d2y d b
d a db d a dxdat dxdb da
Dureli Elimination von db ergibt sich
2. dy d 2y dy d'y
da dxdb-d-bdx-da~
Es ist ferner
dy == pdx + dy(a + db (lb,
folglich
3. dy -pdx = 0.
Dazu kommut noch die Integralgleichung
4. V== 0.
Aus diesen vier Gleichungen sirnd a, b und " zu eliminieren. Duroh
Vertauschung von x und y ergibt sich eine Reihe analoger Gleiehungen.
Sp~ter') gibt dann Lagrange eine Methode, an, aus einem ersten
Integral der gegebenen Differentialgleichung 2. Ordnung, also aus
einer Differentialgleichung 1. Ordnnng das singukIre Integral der urspriinglichen Gleichung zu ermittein, die dem Verfahren, das singulhire
Integral einer Differentialgleichung, 1. Ordunuug aus deren endlichem
Integral herzuleiten, vbillig ainalogr ist. Die Methode l1ilt sicb auf
Differentialgleichungen beliebig hoher Ordnung ftbertragenY )
Wichtiger sind die Untersuchungen fiber die singuliren Integrale
partieller Differentialgleichungen. Die zu einer Integralgleichung

1) Oeuvres de Lagrange, t. IV, P. 63. 2)bedp6.

2) Ebenda, P. 69.