Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

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Abschnitt XXV11.

dy =0* d~y d ',y
da 'dxda d x:d a
(und. analog, wenn x mity vertauscht wird) alle bis ins Unendlicbe
erftillt sind, d. h. weun das in Frage kommnende Integral s~mtliche
aus Z ==0 dureli Differentiation hervorgehenden Gleichungen befriedigt
dieses Integral kein singuldres, sondern nur ein partikulares, Integral
ist. Fur den Fall eines singruliiren Integrals diirfen. also diese Gleichungen nor bis zu einer bestimmten erfiillt sein; wie bei Laplace
ist, der Charakter eines partiknliiren Integrals von unendlich vielen
Bedingnngsgleichunngen abhiaingigr grenacht.
Diese Bemerkung dient nun als Grundlage zn der folgenden
Untersuchung, weiche die Bestimmung der singuliiren Integrale unmittelbar aus der gegebenen D ifferentiaigleichung bezweckt. L agrange
dZ
sagt: da Z die Gr6Be a nicht enthailt, so ist zuniichst da=- 0. Nun
kann aber das in Z anitretende y gemiil der Gleihunug V == 0 als
Fninktion von x und y angesehen werden; es ist demnach
d d2y _ _Bdy 0
d a dxVda d a
Ilandelt es sich jetzt nm ein singuliires Integral, so ist fernerhin
(l yd a
und es ergibt sich
d2y _
14 dxdaf 0
da -B nnter der Voraussetzuing, daB Z eine gaunze rationale Funktion
von x und dy ist, nicht nnendhchb werden kaun. Fiir den Fall, dab
d~~~d
d 0 ist, betrachtet Lagran ge die h~heren Aliugn Er
dxdrt beiugn
kommt zn dem Ergebnis, daB dann A - WY nsw. gleich Nuill sein
miissen. Da aber das Nulisein siimtlicher derivierten 7 d 'y
da' dxda' -
nach deni Obigen den Charakter eines partiknudren lntegrals auzeigen
wiirde, so folgert Lagrange, daB ftir emn singiliires Integral A
sein muB. Da aber
d/ = A -d dy +Bdy +(Cdx = 0,
so folgt
Bdq + Cdx 0;
d. h. mm Falle des singultiren Integrals muB der aus X/= 0 abgeleitete
Wert