Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle DifferentialgleichUngen.81

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Integralgleichung entstehen k6nne. Die Gleichung V =- 0 gibt durch
Differentiation, sagt Lagrange, eiue Gleichung
(dy = p (x, f, a1)d x,
und die Gleichung Z = () folgt hieraus und aus F=== 0 dureli Elimination von a. llierbei ist der Wert von a voilkomnmen grleiebgiltig.
Das Resultat der Elimination wird immer dasselbe, niimlich Z =0,
bleiben, oh a konistant oder variabel ist, so lange nur die beiden Eliminationsgleichnngen V == C) und dy == p dx heilBen. FaBt man aber
den Fall eines, variabein a ins Auge'), so erhiilt man ans V = 0 die
Gleichung dy =pdx + qdta, wo p und q Funktionen von x, y und a
sind. Letztere Gleichung kann sich aber bei variablem a nur danit
auf dy z= pdx reduzieren, wenn q = 0 ist. Der Wert von a aus
berechnet und in F == () substituiert,7 wird emn singulires Integral
(Ix
geben. Desgleichen wird d == em singullires Integral liefern.
Lagraitg~ betrachtet auch den Fall, daB die Bestimmnngsgleichungen
ffir a dieses a entweder nur in Verbindung mit Konstanten oder
ffberhaupt nicht enthalten; im ersten Fall, sagt er, haben wir kein
eigentlich singuliires Integral, im zweitelL wird eine besondere Pril0
fung notwendig sein. Den Fall a = - weist er als unbrauchbar
zurflik.
Nach dieser Voruntersuchung fragt er nuach einer Methode, welehe
die singuli-iren Integrale ohne Kenntnis des vollstihndigen Integrals ziu
finden gestattet. Er weist zuniichst darauf hin, daB die singuliren
Integrale einer Differentialgleichung Integrrale der aus diesen abgeleiteten Differentialgleichungen nur unter besonderen Bedingungen
sind, was fair die Juitegrale einer auf niedrigere Ordnung redazierbaren
Differentialgleichung h~5herer Ordnung 'von groBer Wichtigkeit ist.
So hat z. B. die Gleichung xdx + ydy - dy TX2 + y2 _2 1 == 0 emn
singulilres Integral X2 + y2 -b 2 -: 0; letzteres ist aber kein Integral der
Differentialgleichung 2. OrdnUng xd'y - dydx == 0, von der jene Gleichung 1. Ordrmung erstes Integral ist. 3) Lagrange zeigt danni, daB,
weun die erwiihnaten Bedin gun gsgleichuiigen
1) Lagrange macht in der IBezeichnung totaler und partieller Differentialquotienten keinen Untersehied. 2) Schon Euler liist den Parameter einer Inte~gralgleichung, nachtrilglich variieren (vgl. S. 926). 3)Diese etwas ungewiihnliche Form erhillt man aus dem ersten integral, wie, es sich zundelist ergibt,
bei Benutzung des volls~tddigen Integrals.