Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Algebra.

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C ondillac') hebt hervor, daB wenn eine Zahi als eine Menge von
Einheiten angenommen wird, 1 keine Zahi sei. Gherl i2) sagt ausdriicklich:,,1unith non e' numero"
K'A'stner nennt einen Bruch eine ganze Zahi, deren Einheit emn
Teil der urspruinglichen Einheit ist u-nd so viele Einheiten hat, als
der Ziihler anzeigt. 1rrationalzablen oder surdisehe Zahien lassen sich
nach Ka~stner,,weder durch ganze Einheiten noch durcli Theile der
Einheit voilkommen richtig ausdrflcken"13 ).
Einen ganz neuen Zahibegriff, welchem die Mathematiker des
18. Jahrhunderts gar keine Aufmerksamkeit schenkten, gab Immanuel
Kant 1781 in seiner Kritik der rein en Vernun f t4), wormn er sich
so ausspricht:,,Das reine Schema der Gr8fBe aber (quantitatis), als eines
Begriffes des VTerstandes ist die Zahi, weiche eine Vorstellung ist, die
die successive Addition von Einem zu Einem (gleichartigen) zusammen
befaBt; also 1st die Zahi nichts anderes als die Einheit der Synthesis
des Mananigfaltigeli einer gleichartigen Anschauung ilberhaupt, dadurch
daB ich die Zeit selbst in der Apprehension der Ansehauung erzeuge".
Erst un, 19. Jahrhundert wurde dieser auf die Vorstellung der Zeit
gegrtindete Zahibegrriff von einigen Mathemiatikern (z. B. W. R. H am i Itoin) freuindlich aufgenommeni.
Die Erweiterung des Zahibegriffs durch die Einfifhrung negativer
Zablen war die Folge des Bedtirfniisses, die Subtraktion aligem-ein ausffihren zn k~innen. Eine soiche Ailgemeinheit wurde in der Entwicklung der Algebra schon friih als eine grof3e lBequemlfichkeit erkannt. Zur Einfflbrung negativer Zahien durch die Not gedrungen,
war es den Mathematikern nie gelungen, die Theorie derselben von
st~irenden Paradoxien zu befreien. In der zweiten Hailfte des Jalirhunderts wurden die ailgemeinen Erklirungen negativer Zahien und
ibrer Operationsregeln allmiiblich als unzureichend erkanint, ohne daB
aber im 18. Jalirhundert eine strenge Entwicklung der logischen. Voraussetzungen erreicht wurde. Gegen Ende des Jahrhunderts begegnet
man Forschern da und dort, die den Zahibegrriff auf positive Zahien
beschriinken m~5chten, urn dadurch die,,Pfuschereien" in der Mathematik zu vermeiden. Der Einwand gegen imnaginiire Zahien war noch
starker als gegen die negativen, obschon alle Mathematiker ersten
Ranges von beiden ohne lBedenken bestiindigen Gebrauch machten.
Ein Schriftsteller, weicher willirend der letzten vierzig Jahre des
Jabrhunderts in England eine Reaktion gegen den Gebrauch von
')La langue des calcals, p. 42. 2) G he rlIi, op. cit. T. I, p. 2.8)K ter
Op. cit. S. 102. 4) Kants silmtl. Werke, herausgeg. von Hartenstein, III,
S. 144.