Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen.88

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oder singuldren Kurven in Frage steht, und legt durch (C' die ent'sprechende partikuli-ire Kurve 1), so erhiilt man dieselben Bedingungein
de-nuach miissen letztere, wenn 11011M emn partikuliires Integral dai —
stellen soil, fdr jedes x giltig sein.
Nun lassen sich aber die - Derivierten aus der gegebenen Differentialgleichung leicht bilden; man erhillt niirlich der Reihe nach
+ x?~ +( )> u8W.2)
p ist hierbei eine gegebene Funktion von x und y. Andererseits
k6ninen, auch die 6 -Derivierten aus der bekannten Gleichung der Kurve
HCXi erhalten werden.
Laplace beinerkt sodann, (laB nattirlich die GAleichung
von selbst schon erffillt ist; hieraut geit, er Zn subtileren Untersnehungen Uiber, deren Gang und Ergebnisse hier nur kurz angedeutet
werden kniinien. Er formi zuniichst die ursprifingliche Differentialgleichung so urn, daB der Buehstabe gt der gegebenen Integragloreichung
=0 dariin auftritt, und erhuiilt schijefflich die Gleichungen:
Cyu= it"' h / J
oder unter gewissen Voraussetzungen
-- it' q(x X (fX + rY,
wo h immer endlich, solange gt 0. Diese Gleichung gibt er als
Kriterinm fUr den Charakter von a =-t 0: irn Falle n > 1 handelt es
sich urn emn partikullires, irn Falle n < 1 urn emn singnliires, Integral.
So liefert die GleichUng
wit dern Integral
unschwer q ==xx+yy-aa=0O
X/ y - aayyy)xfy- aa)j
1)Man beaclite, daB Lapl a ce nur immer einzelne Integralkurven LC(i
Und nie die ganze Schar ins Auge faMt, was ihn walirscheinlich zu tieferer Eifsicht in das Wesen der singulilren LUsungen gefiihrt hatte. ')Die Klammern
bedeuten, wie immer, partielle Differentiation.