Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

886

886 ~~~~~Abschnitt XXV11.

auf gegriindete Methode zur Bestimnmung der singul.iren Integrale
dureli Elimination der Konstanten der Integralgleichung ist der
Laplace schen Herleitung an Eleganz, Sicherheit und Leichtigkeit
der Handhabung bedeutend tiberlegen und hat deshaib das illtere
Verfaliren vollst~indig verdriingt. Die zweite, schon von Clairaut
und Euler gelibte Methode wiederholter Differentiation, die nicht
vom Integral, sondern von der Differentialgleichung ausgelit, besitzt
Lagrange ebenfalls, auch gibt er erweiterte Kriterien. Endlich behandelt er die greometrisebe Deutung des singnlilren Integrals als
Enveloppe einer Knrvenscharl), und. ist der Ansicht, daB im aligemeinen emn singuliires) Integral vorhanden ist. DaB ein Ort der
Spitzen oder anderer Singularitiiten auftreten kann, ist jim dabei
entgangen; ebensowenig weiB er, daB es Integrale gibt, die zugleich
partikuliir und singuliir sind, d. h. geometrisch gesprochen, daB emn
Zweig der Enveloppe zu den Kurven der Schar geh6ren kann. 1774
dehnt L a grang e seine Untersuchungen auf Differentialgleichungen
h~iherer Ordnaung und partielle, Differentilagleichungen ails; endlich
sind noch dies Arbeiten von Tremble y2) und Lege'ndre zn erwijhnen.
Wir kdnnen mns nicht versagen, n~her auf die Aufsiitze von
Euler, Laplace, Lagiange und. Legendre cinzugehen. Euler
suclit 3), wie schon erwiihnt, emn Kriterium, das gestattet, emn singuflures oder partiknliires gegebenes Integral als soiches zu erkennen.
In gewohnter Weise geht er allmiiihlich von einfachen. Fiiulen zn
schwierigeren fiber. So kommt er unter der Voraussetzung, das voltstiindigre Integral lante y ==C + P, zu dem Schlusse, da8 L fMr x ~-a
nicht unendlich werden darf, wenn x == a partikuilires und nicht singulilres Integral von dy d sein soil. Es ist dabei natiilich angenommen, d~aB w = a die letztgenaunte Difierentialgleichung befriedigt. Er untersucht noch weitere Fiille, w e
(1 =Pd x n y. Pdx
un(1 dy==/,
und bildet an ihnen folgende Untersuchn-ngsmethode heraUS4): Sei
/ Pdv,
')Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 38. Die IDeutung des singuliren Integrals partieller Differentialgleichungen: ebenda, p. 67. 2) M6moires de l'acad~mie royale des sciences de Turin 1790/91. Ferner Nouveaux Mesmoires de
l'Acadernie de Berlin 17.92/93 (1798), p. 341-416. Vgl. unten S. 908. ' 1
stitutiones calculi integralis, vol. 17, p. 393. 4) Ebenda, p. 402.