Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale und partielle Differentialgleichungen.85

88.15

Eine gemischte Form des Integrals, die neben willikfrlichen Funktionen auch eine Integrationskoristante a enth'Rt, will Monge zulassen.~) Die Gleichung
z- = (p I ox - y + 4'~bx - y
ist Integral von
ddx2 - Ld bi b~a b0~a ~O2).
y LX dx dyidxdy dx dy2
Schlieblich darf nicht unerwiihnt bleiben, daB Laplace auf die
Existenz trivialer L~sungen einer Differentialgleichung hingewiesen
hat, die inicht als lintegrale zu betrachten sind.3) So wird
dureli 0t ( erfifilt; aber die,,eigentliche" Lbisung rnuB die Gleichung
(y= pox erfiillen, wo p eine Funktion von x und y ist. Eine genaue Definition, was als Integral zu gelten hat und was niclit, lIRBt
sich bekanntermaBen bei Verwendung M on g e - L i e scher Vorstellungen
in besonders anschaulicber Weise geben.
Von gr~iter Wichtigkeit sind die Untersuchungen, die sich auf
die Theorie der singulliren Integrale beziehen. Claira-ut4) und
Euler fanden auf diesem Gebiet zunaclist keine Naehfolger; dieser
leitet 1768 fair Gleichungen 1. Ordnung emn allerdings wenig ailgenmeines Kriterium ab, dureb das ein partikuliires Integral von einem
singulireii untersehieden werden kann, ohne daB das vollstiindige Integral der Gleichung bekannt ist. D'Alembert ftigt in einer Abhandlung ans dem Jahre 1769 1) wenig Neues hinzu; h~3chstens kann
man sagen, daB er EulIe rs IDberlegung strenger und schiirfer mnaoht.
Erst Laplace fat 1772 das Problem bedeutend weiter. Er verlangt
emn for Gleichungen beliebiger Ordnung mit beliebiger Variabeluazahl
geltendes, dem Eulersehen alinliches Kriterium; auBerdem stellt er
die Forderung, es sollen sdmntliche singulare Integrale einer gegebenen
Differentialgleiehung angegeben werden. Durelh Lapla ce s Arbeit
angeregt, nimmt endlich Lagrange 1774 das Problem von neuein
vor; er erkeuant als erster die wahre Natur des singuliren Integralsund semnen Zusaminenhang mit demn vollstiindigen Integral. Die dar1)M6nmoires present6s par divers Savans 1773 (1776), p. 322 Auf eine
iihnliehe Form des Integrals bei Monge (Meh'moires de Turin, t. \V, p. 62) kommnt
Trembiley eingehend zu sprechen in Nova Acta Academiae Petropolitainae,
t. XIII, 1795/96 (1802), P. 134. 2) Wegen der Schreibweise vgl. S. 1012 u. 1019
H)Iistoire de I'Acade'mie des Sciences 1772, part. 1 J1776), p. 344. 4)Vgl.
diese Von., 1112, S. 889. Histoire do l'Acad6mie des Sciences 1769 (1772'),
P. 85ff
67*