Vorlesungen über geschichte der mathematik, von Moritz Cantor.

Totale uind partielle D~ifferentialgleiehungen.88

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Anfangsbedingungen tritt noch viel hautfiger in der mathematischen
Physik auf; und hier hat Euler ftir eine Reihe spezieller Probleme
die Aufgabe rechnerisch gelist. Die Erfilllbarkeit der gegebenen Anfangsbedingungen schien, auch wenn sie in analytischer Form vorlagen, gei~nOi ihrer geometrisch-physikalischen Bedeutungr bei allen
derartigen Problemen scion von vornherein gresichert und wurde deshalb nie Gegenstand besonderer Untersuchungen.
Iin AnscihlB daran behandein wir einen interessanten Fall eiuer
Randwertaufgabe bei d'Alem bert.') Vom Problem der seliwingenden
ungleichf~rmigen Saite ausgehend, kommt er zn der Gleichung
dx 2
wo X eine gegebene positive Funktion von x bedeutet. Er fragt
n1un, ob man den Parameter )~ so bestimmen kann, daB diese Gleichungr eine Ldsung zuliit, welche in a und b verseliwindet, ohne
identisch zu verschwinden. Um diese Frage zu beautworten, fiihrt
er die obige Gleichung in eine Riccatisehe Gleichung flber durch
Einfiihrung der nenen abhiingigen Ver~inderlichen z - Dureli
Untersuchung dieser Gleichung kornmt er zu dem Resultat, dal3 die
gewtUnschte Parameterboestimmung stets m6glich ist, und zwar so, daB
die betr. Ldsung zwischen a und b nicht versehwindet. DaB es aber
nur ejuen solchen Parameterwert gibt, wird niclit erwijhnt, ebensowenig ist von den unendlich vielen Parameterwerten die Rede, welche
man bekommnt, wenn man Nullstellen zwischen a und b znldBt.
Man hat ziemlich von allem Anfang an die integrale in vollstdndige (bzw. aligemeine) und partikulire untersehieden. Dazu kam.
dann spater nnser singuldres Integr~al hinzu.2) Endlich untersehied
Lagrangye bezflglich der lIntegrale partieller Differentialgleichunngen.
zwischen vollstandigrem und allgemeinem Integral (vgl. indessen S. 969t
und S. 97'2- Anm. 2)Y1) - Beziiglich des Integrals, das a-Ls
F~,g,a, b) -0, b T(a), d$, + dz w' (a
1)iistoire de l'Acade'mie de Berlin, t. xXIX 1763 (1770), p. 244. Nach deni
Artikei,,Randwertaufgaben bei totale-n Differentialgicichungen" in der EnzykloPlidie der mathematischen Wissenschaften, II A 7 a, S. 439. 2) Eine Definition
des partikulilren Integrals bei Euler, institutiones calculi integralis, vol. 1,
sect. 2, cap. 4. Ferner bei Laplace, Miscellanea Taurinensia, t. JV2, 1766/69,
P. 174 (verdruckt statt 274), Definition des singuliaren Integrals bci Condorcet,
ebenda, t. IV 2, 1766/69d, p. 6 (solution particuli6re); siehe auch Oeuvres de Lagrange, t. IV, p. 7. ') Die Benennung der verschiedenen Arten von Integralen
war jedoch best-andigem Wechsel unterworfen. 4) Wir haben bei den partiellen
CANTOR, Geschichte der Mathematik IV. 67